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1、若函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{2} x^{2}$ .

(1)、若 $a = 4$ ，且曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l$ 过点 $(0, 2 e^{2})$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、证明：若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (0 < x_{1} < x_{2})$ ，则 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ；

(3)、若 $G (x) = f (x) + x + \ln \frac{a}{2} \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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2、已知两点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ 及一动点 $P$ ，直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率满足 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{1}{4}$ ，动点 $P$ 的轨迹记为 $C$ .过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $A M$ ， $B N$ 交于点 $Q$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ A M N$ 的面积的最大值；

(3)、求点 $Q$ 的轨迹方程.

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3、如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D$ ， $E F / / A D$ ， $A D = 4$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = E F = 2$ ， $A F = \sqrt{11}$ ， $F B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 为 $A D$ 上一点，且 $F M ⊥ A D$ ，连接 $B D$ 、 $B E$ 、 $B M$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $B F M$ ；

(2)、求平面 $A B F$ 与平面 $D B E$ 的夹角的余弦值.

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4、某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2：3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.

满意
不满意
总计
男游客
35

女游客

15

合计

100

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，依据表中数据，以及小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关?

(2)、从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为 $X$ .求出 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a \sin C - c \cos A - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b + c$ 的值.

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6、在某世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.若a对b、a对d的胜率均为0.6，a对c、c对d的胜率均为0.5，则a获得冠军的概率为.

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7、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 上一点，且 $B_{1} P = 2 P B$ ， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）

A、若 $D_{1} Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点 $Q$ 的轨迹是一条长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的线段 B、不存在点 $Q$ ，便得 $D_{1} Q ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ C、三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的最大体积为 $\frac{5}{18}$ D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ 且 $D_{1} Q$ 与平面 $A_{1} P D$ 所成的角最大时，三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积为 $\frac{1}{9}$

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} - x$ ，对于任意实数 $a$ ， $b$ ，下列结论成立的有（）

A、 $f {(x)}_{\min} = 1$ B、函数 $f (x) = e^{x} - x$ 在定义域上单调递增 C、曲线 $f (x) = e^{x} - x$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程是 $y = 1$ D、若 $a = - b > 0$ ，则 $f (a) > f (b)$

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上单调递增

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (- x + 2)$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ 都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 3$

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11、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ ， $C_{2} : y^{2} = 8 x$ 的焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的点，且线段 $P Q$ 平行于 $x$ 轴，则下列结论错误的是（）

A、当 $| P Q | = \frac{1}{2}$ 时， $△ F_{1} P Q$ 是直角三角形 B、当 $| P Q | = \frac{4}{3}$ 时， $△ F_{2} P Q$ 是等腰三角形 C、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是菱形 D、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是矩形

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A E}$ ，若 $\vec{A F} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、1

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $F : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的焦点重合，则双曲线 $F$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{30}}{6}$

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14、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{- 1} (x < 0) \\ \sin π x (x \geq 0) \end{array}$ ，则 $f (f (- 3)) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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15、已知复数 $z$ 满足 $| z - i | = 2$ ，则复数 $z$ 在复平面上对应的点的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、抛物线

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16、已知 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = \{x | \log_{2} x < 1\}$ ， $M = A \cap B$ .则 $M$ 是（）

A、 ${x | x < 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 2}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | 0 < x < 2}$

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17、桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 $n + 1$ 个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合 $A = {α | α = (t_{1}, t_{2}, \dots, t_{n}), t_{k} \in {0, 1}, k = 1, 2, \dots, n}$ .对于集合A中的任意元素 $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 和 $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $M (α, β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} + |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} + |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} + |x_{n} - y_{n}|)]$ .

(1)、当 $n = 3$ 时，岩 $α = (0, 1, 1)$ ， $β = (0, 0, 1)$ ，求 $M (α, α)$ 和 $M (α, β)$ 的值；

(2)、当 $n = 4$ 时，对于A中的任意两个不同的元素 $α$ ， $β$ ，证明： $M (α, β) \leq M (α, α) + M (β, β)$ .

(3)、给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素 $α$ ， $β$ ， $M (α, β) = M (α, α) + M (β, β)$ .写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.

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18、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，在空间任取一点 $O$ ，作 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $∠ A O B$ 叫做向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，记作 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .定义 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的“向量积”为： $\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个向量，它与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 都垂直，它的模 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $D P = D A = 4$ ， $E$ 为 $A D$ 上一点， $|\vec{A D} \times \vec{B P}| = 8 \sqrt{5}$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、若 $E$ 为 $A D$ 的中点，求二面角 $P - E B - A$ 的余弦值；

(3)、若 $M$ 为 $P B$ 上一点，且满足 $\vec{A D} \times \vec{B P} = λ \vec{E M}$ ，求 $|λ|$ .

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19、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x}, g (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ .

(1)、求曲线 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、已知实数 $a > 0$ ，设 $h (x) = a f (x) - g (x)$ .
（i）若 $a = 3$ ，求 $h (x)$ 的极值；
（ii）若 $h (x)$ 有3个零点，求 $a$ 的值.

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20、随着“双十一购物节”的来临，某服装店准备了抽奖活动回馈新老客户，活动规则如下：奖券共3张，分别可以再店内无门槛优惠10元､20元和30元，每人每天可抽1张奖券，每人抽完后将所抽取奖券放回，以供下一位顾客抽取.若某天抽奖金额少于20元，则下一天可无放回地抽2张奖券，以优惠金额更大的作为所得，否则正常抽取.

(1)、求第二天获得优惠金额的数学期望；

(2)、记“第 $i$ 天抽取1张奖券”的概率为 $P_{i}$ ，写出 $P_{i}$ 与 $P_{i + 1}$ 的关系式并求出 $P_{i}$ .

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	满意	不满意	总计
男游客	35
女游客		15
合计			100

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879