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1、如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点， $A B = A C =2 \sqrt{5}$ ， $B C =4$ ．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥ B D$ ；

(2)、求直线A₁E和平面A₁OC所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{A_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由．

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2、已知点 $P (1, m)$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $F$ 为焦点，且 $|P F| = 3$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (4, 0)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{O B}$ 的值.

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3、设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₃=12，且S₁₂>0，S₁₃<0.
（1）求公差d的取值范围；
（2）问前几项的和最大，并说明理由.

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4、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P (- 1, 2)$ ，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为 $α$ .

(1)、当 $a = 135 °$ 时，求 $A B$ 的长；

(2)、当弦 $A B$ 被点P平分时，求直线l的方程.

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5、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的点， $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ，则椭圆 $C$ 的离心率等于．

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, 1, 5), \vec{b} = (1, x, - 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $x$ 等于．

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, E F$ 是棱 $A B$ 上的一条线段，且 $E F = 1$ ，点 $Q$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 上的动点，则下面结论中正确的是（）

A、 $P Q$ 与 $E F$ 一定不垂直 B、 $△ P E F$ 的面积是 $2 \sqrt{2}$ C、点P到平面 $Q E F$ 的距离是定值 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、二面角 $P - E F - Q$ 的正弦值是 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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8、已知抛物线 $x^{2} = 2 p y$ （p＞0）上一点 $A (m, 1)$ 到其焦点的距离为p，O为坐标原点，则|OA|＝（　　）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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9、在数列 $\{a_{n}\}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $a_{n}_{+ 1} = a_{n} + n + 1$ .则 $a_{10} =$ （）

A、36 B、15 C、55 D、66

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10、已知空间向量 $\vec{a} = (- 1, 2, 1) ， \vec{b} = (3, x, - 3)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则x=（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- 6$ D、6

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11、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (1 + 2^{x}) - \frac{1}{2} x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、若函数 $F (x) = m \cdot 2^{f (x) + \frac{1}{2} x} + 4^{x}$ ，请判断是否存在实数 $m$ 使得 $F (x)$ 有两个零点，其中一个在 $(0, 1)$ 之间，另一个在 $(1, {log}_{2} 3)$ 之间，若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由；

(3)、若函数 $G (x) = n \cdot 4^{x} - 2^{f (x) + \frac{1}{2} x} - 2 (n \geq 0)$ ，当 $x \in [{log}_{2} 3, {log}_{2} 5]$ 时，记 $G (x)$ 的最小值为 $h (n)$ ，求 $h (n)$ .

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12、猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，2022年1月至2024年7月31日，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，世卫组织宣布猴痘疫情构成“国际关注的突发公共卫生事件”.猴痘病毒经过变异之后传染性极强，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用 $x (x \in N^{*})$ 表示经过的单位时间数，用 $y$ 表示猴痘感染人数.
$x$
$\dots$
2
4
6
8
$\dots$
$y$
$\dots$
8
64
511
4097
$\dots$

(1)、请从 $y = m \cdot x^{n} (m \neq 0, n \neq 0)$ 与 $y = k \cdot a^{x} (k \neq 0, a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式；

(2)、求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人.（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414, lg 2 \approx 0.301$ ）

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13、已知指数函数 $f (x) = a^{x} (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象经过点 $(2, 4)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{f (x) - m}{f (x) + m} (m > 0)$ 是奇函数，
①求实数 $m$ 的值；
②判断并用定义法证明函数 $g (x)$ 的单调性.

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14、已知实数 $a$ 满足 $a + {(2^{2 - \sqrt{2}})}^{2 + \sqrt{2}} \geq {(\sqrt{2} + 1)}^{0} \times 3^{1 - {log}_{3} 2} \times {(\frac{9}{16})}^{- \frac{1}{2}}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + x < a x + a$ .

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15、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{x ∣ m \leq x \leq 2 m - 1\}$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、下列命题：
①函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调递增区间为 $(2, + \infty)$ ；
②将函数 $y = {log}_{2} x$ 的图象先关于 $x$ 轴对称，再将其图象向左平移 $1$ 个单位后的函数解析式为 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (x + 1)$ ；
③将函数 $y = ln x$ 的图象先关于 $y = x$ 对称，再将其图象关于 $y$ 轴对称后的函数解析式为 $y = \frac{1}{e^{x}}$ ；
④若函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} + a x + 1)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$ .
其中正确的序号为.

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17、若正实数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 9$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为.

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18、在边长为 $4 \sqrt{3}$ 的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为.

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19、下列说法正确的是（）

A、若 $x^{2} - 2 x \leq 0$ 是 $x \geq a$ 的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, 2]$ B、设 $a > 0, b > 0$ ，则 ${log}_{2} a > {log}_{2} b > 0$ 是 $a > b > 1$ 的充要条件 C、已知 $f (x) = lg (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + x^{3}$ ，则对任意实数 $a, b, f (a) + f (b) \geq 0$ 是 $a + b \geq 0$ 的充要条件 D、如果对于任意实数 $x, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[π] = 3, [0.6] = 0$ ， $[- 1.6] = - 2$ ，则 $[x] = [y]$ 是 $|x - y| < 1$ 的必要不充分条件

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20、已知函数 $f (x) = lg (7 - x) + lg (x - 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(3, 7)$ B、 $f (x)$ 在定义域内单调递减 C、 $f (x)$ 的最大值为 $2 lg 2$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 5$ 对称

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$x$	$\dots$	2	4	6	8	$\dots$
$y$	$\dots$	8	64	511	4097	$\dots$