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1、中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，和棋的概率是 $\frac{1}{4}$ ，则张三不输的概率为．

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2、已知M为圆 $C : x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 上一动点，过M作x轴的垂线交直线 $l : \sqrt{3} x + y - 5 = 0$ 于N，则 $|M N|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $6 - 2 \sqrt{3}$

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3、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的右焦点为F，过坐标原点O的直线 $l$ 与椭圆相交于A，B，则 $△ A B F$ 面积的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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4、双曲线C与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同的焦点，一条渐近线的方程为 $x - 2 y = 0$ ，则双曲线C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{36} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$

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5、某校射击兴趣小组组织了校内射击比赛，得到 $8$ 名同学的射击环数如下： $9$ 、 $8$ 、 $6$ 、 $10$ 、 $9$ 、 $7$ 、 $6$ 、 $9$ （单位：环），则这组样本数据的（）

A、极差为 $3$ B、平均数是 $7$ C、上四分位数是 $6.5$ D、方差为 $2$

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6、若直线 $l_{1}$ ： $m x + y + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $2 x + (m + 1) y + 2 = 0$ 平行，则实数m等于( ).

A、1 B、0 C、 $- 2$ D、1或 $- 2$

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7、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知点 $A (1, 1, 1), B (2, - 1, 0)$ ，若点 $P$ 与点 $A$ 关于 $O y z$ 平面对称，则 $\vec{B P} =$ （）

A、 $(- 3, 2, 1)$ B、 $(- 1, 0, 1)$ C、 $(- 1, 0, - 1)$ D、 $(3, - 2, - 1)$

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8、已知直线的一个方向向量为 $(- 3, \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角是（）

A、 $45 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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9、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的以3为周期的奇函数，若 $f (1) > 1, f (2) = \frac{2 a - 3}{a + 1}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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10、实数x，y满足 $\{\begin{matrix} {(x - 1)}^{3} + 2024 (x - 1) = - 1 \\ {(y - 1)}^{3} + 2024 (y - 1) = 1 \end{matrix}$ ，则 $x + y =$ .

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11、半径为2的圆中， $120 °$ 圆心角所对的弧的长度．

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12、设 $\{a_{n}\}$ 为无穷数列， $\{n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}, \dots\}$ 为正整数集 $N^{*}$ 的无限子集，且 $n_{1} < n_{2} < \dots < n_{k} < \dots$ ，则数列 $a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}, \dots$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一个子列.

(1)、请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列；

(2)、设无穷数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 1, a_{3} = 2 \sqrt{2} + 1$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 的任意子列不是等比数列；

(3)、对于公差不为零的无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ ，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件.

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13、已知函数 $f (x) = (x + \frac{1}{2}) ln (\frac{1}{x} + 1)$ .

(1)、证明曲线 $y = f (x)$ 是轴对称图形；

(2)、设函数 $g (x) = f (\frac{1}{x}), x \in (0, + \infty)$ ，解不等式 $g (x) > \frac{e + 1}{2 e - 2}$ （ $e$ 是自然对数的底数）.

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14、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8, A D = 5 \sqrt{3}$ ， $C D = 3, ∠ B A D = 30^{\circ}, ∠ A D C = 90^{\circ}$ ，点 $F$ 为 $A B$ 中点， $F E ⊥ A D$ 于 $E$ ，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折至 $△ P E F$ ，使得 $P C = 4 \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $P E D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P E F$ 的夹角的余弦值.

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方）， $△ F_{1} A B$ 的面积是 $△ F_{2} A B$ 面积的2倍.

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、求 $tan \frac{∠ F_{1} A F_{2}}{2}$ .

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16、某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
时长（小时）
$[0, 2)$
$[2, 2.5)$
$[2.5, 3)$
$[3, 3.5)$
$[3.5, 4]$
人数（人）
3
4
33
42
18
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.

(1)、从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；

(2)、从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有 $X$ 人可以在2小时内完成各科作业，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有 $Y$ 人可以在3小时内完成各科作业，求 $E (Y)$ .

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17、如图，在山脚A测得山顶P的仰角为 $α$ ，沿倾斜角为 $β$ 的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 $γ$ ，则山高 $h =$ m.（结果用d、 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 表示）

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18、已知 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切于点 $M$ ，若 $|M F_{1}| = 3 |O M|$ ，则双曲线的渐近线方程为.

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19、已知公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ 且 $3 a_{1} 、 2 a_{2} 、 a_{3}$ 成等差数列，则 $a_{2025} =$ （结果用幂表示）

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20、将函数 $y = f (x)$ 的图象绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = \sin 2 x$ C、 $y = x - \ln x$ D、 $y = x e^{x}$

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时长（小时）	$[0, 2)$	$[2, 2.5)$	$[2.5, 3)$	$[3, 3.5)$	$[3.5, 4]$
人数（人）	3	4	33	42	18