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1、在矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 1$ ，点E在CD上，现将 $△ A E D$ 沿AE折起，使面 $A E D ⊥$ 面ABC ，当E从D运动到C ，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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2、已知圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆 $O$ 的直径 $A B$ 的长度为4，母线长为 $l$ .

(1)、如图1所示，若 $l = \sqrt{6}, C$ 为圆 $O$ 上异于点 $A$ 的任意一点，当三角形 $P A C$ 的面积达到最大时，求二面角 $C - P A - B$ 的大小；

(2)、如图2所示，若 $l = 6$ ，点 $G$ 在线段 $P A$ 上，一只蚂蚁从点 $A$ 出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达 $G$ 点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段 $P G$ 的长度.（上坡表示距离顶点 $P$ 越来越近）

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3、如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段 $C E, D F$ 与分别以 $O C, O D$ 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点 $C, D$ 是线段 $A B$ 上的动点，点O为线段 $A B, C D$ 的中点，点 $E, F$ 在以 $A B$ 为直径的半圆弧上，且 $∠ O C E,$ $∠ O D F$ 均为直角.若 $A B = 1$ 百米，则此步道的最大长度为百米.

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $s i n (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $s i n (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $c o s β$ 的值.

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5、如图所示，角 $α$ 的终边与单位圆 $O$ 交于点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，将 $O P$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 后与圆 $O$ 交于点 $Q$ .

(1)、求 $y_{Q}$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = 2$ ， $s i n A = | y_{Q} |$ ，求 $S_{△ A B C}$ .

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6、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，角 $α$ 以Ox为始边，且 $s i n α = \frac{2}{3}$ ．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 弧度，这时终边对应的角是 $β$ ，则 $c o s β =$ ；

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7、已知 $θ$ 为锐角，满足 $s i n^{2} θ + s i n θ c o s θ - 3 c o s^{2} θ = \frac{3}{5}$ ，则 $t a n θ =$ ．

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8、下列命题为真命题的是（）

A、函数 $y = t a n x$ 在定义域内是单调增函数 B、函数 $f (x) = 4 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的表达式可以改写为 $f (x) = 4 c o s (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = s i n | x |$ 是最小正周期为 $π$ 的偶函数 D、若一扇形弧长为 $2$ ，圆心角为 $9 0^{∘}$ ，则该扇形的面积为 $\frac{4}{π}$

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9、已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，则该圆锥的母线长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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10、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (c o s \frac{π}{3}, s i n \frac{π}{3})$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、已知角 $α$ 第二象限角，且 $| c o s \frac{α}{2} | = c o s \frac{α}{2}$ ，则角 $\frac{α}{2}$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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12、已知 $\frac{3 π}{2} < θ < 2 π$ ，则 $\sqrt{1 + s i n θ} - \sqrt{1 - s i n θ} =$ .

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 以 $O x$ 为始边，终边在第三象限.则（）

A、 $s i n α - c o s α \leq t a n α$ B、 $s i n α - c o s α \geq t a n α$ C、 $s i n α \cdot c o s α < t a n α$ D、 $s i n α \cdot c o s α > t a n α$

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14、已知函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}} (- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2})$ 的图像绕着原点按逆时针方向旋转 $θ (0 \leq θ \leq π)$ 弧度，若得到的图像仍是函数图象，则 $θ$ 可取值的集合为.

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15、通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且 $\begin{array}{l} \frac{坡屋面高度半径}{半坡宽度} = 0.57 \pm 0.3 \end{array}$ ．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B ， C为檐口，且 $\overset{⌢}{A C}$ 所对的圆心角 $θ = \frac{π}{6}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ 所在圆的半径为4， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，则（）

A、 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $\frac{2}{3} π$ B、 $A C = 2 \sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为 $4 \sqrt{3}$ ，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点 D、若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小

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16、质点A ， B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线 $y = \sqrt{3} x$ （ $x \geq 0$ ）与圆O的交点处，点A的角速度为 $1 r a d / s$ ，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为 $2 r a d / s$ ，则下列说法正确的是（）

A、在 $2 s$ 末时，点B的坐标为 $(- c o s 4, - s i n 4)$ B、在 $2 s$ 末时，劣弧 $A B$ 的长为 $2 - \frac{π}{3}$ C、在 $5 π s$ 末时，点A与点B重合 D、当点A与点B重合时，点A的坐标可以为 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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17、出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ $S$ ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）： $A B \approx 8 c m, A D \approx 2 c m, A O \approx 5 c m$ ，若 $s i n 3 7^{°} \approx \frac{3}{5}, π \approx 3.14$ ，则璜身（即曲边四边形 $A B C D$ ）面积近似为（）

A、 $6.8 c m^{2}$ B、 $9.8 c m^{2}$ C、 $14.8 c m^{2}$ D、 $22.4 c m^{2}$

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18、已知 $α$ 是第二象限角，且其终边经过点 $(- 3, 4)$ ，则 $t a n \frac{α}{2} =$ ．

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19、已知角 $α, β$ 的终边关于直线 $y = x$ 对称，且 $s i n (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $α, β$ 的一组取值可以是 $α =$ ， $β =$ .

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20、下列说法正确的是（）

A、轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为 $\sqrt{2} π$ B、若 $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $\sqrt{1 - 2 s i n (\frac{π}{2} + α) s i n (π - α)} = s i n α - c o s α$ C、已知 $α$ 为锐角， $s i n α = \frac{3}{5}$ ，角 $β$ 的终边上有一点 $P (2, 1)$ ，则 $t a n (α + β) = 1$ D、在 $- 360 ° ∼ 360 °$ 范围内，与 $- 410 °$ 角终边相同的角是 $310 °$ 和 $- 50 °$

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