北京市怀柔区2016届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷日期：2018-01-11 考试类型：期末考试

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一、单选题

1. 我市南水北调配套工程建设进展顺利，工程运行调度有序．截止2015年12月底，已累计接收南水北调来水812000000立方米．使1100余万市民喝上了南水；通过“存水”增加了约550公顷水面，密云水库蓄水量稳定在10亿立方米左右，有效减缓了地下水位下降速率．将812000000用科学记数法表示应为（）

A、812×10⁶ B、81.2×10⁷ C、8.12×10⁸ D、8.12×10⁹

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2. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大是（）

A、a B、b C、c D、d

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3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝2，DB＝4，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4. 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（　　）

A、1：2 B、2：1 C、1：4 D、4：1

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5. 二次函数y=（x-1）²+2的最小值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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6. 将抛物线 $y =- x^{2}$ 向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（）

A、 ${y=-(x+2)}^{2}$ B、 ${y=-(x-2)}^{2}$ C、 ${y=-x}^{2} -2$ D、 ${y=-x}^{2} +2$

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7. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）

A、4 $\sqrt{3}$ 米 B、6 $\sqrt{5}$ 米 C、12 $\sqrt{5}$ 米 D、24米

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9. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（　　）

A、30° B、35° C、40° D、45°

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10. 小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的 $\frac{3}{4}$ ，折扇张开的角度为120°．小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为24 $\sqrt{3}$ cm，宽为21cm．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴时的损耗，此时扇面的宽度AB为（）

A、21cm B、20 cm C、19cm D、18cm

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二、填空题

11. 不等式组 ${\begin{cases} 1 - \frac{1}{2} x \geq 0 \\ 3 x + 2 > - 1 \end{cases}$ 的正整数解是．

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12. 如图，tan∠ABC= ．

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13. 写出一个抛物线开口向上，与y轴交于（0，2）点的函数表达式．

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14. 已知⊙O的半径2，则其内接正三角形的面积为．

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三、解答题

15. 学校组织社会大课堂活动去首都博物馆参观，明明提前上网做了功课，查到了下面的一段文字：
首都博物馆建筑本身是一座融古典美和现代美于一体的建筑艺术品，既具有浓郁的民族特色，又呈现鲜明的现代感．首都博物馆建筑物（地面以上）东西长152米、南北宽66米左右，建筑高度41米．建筑内部分为三栋独立的建筑，即：矩形展馆，椭圆形专题展馆，条形的办公科研楼．椭圆形的青铜展馆斜出墙面寓意古代文物破土而出，散发着浓郁的历史气息．
明明对首都博物馆建筑物产生了浓厚的兴趣，站到首都博物馆北广场，他被眼前这座建筑物震撼了．整个建筑宏大壮观，斜出的青铜展馆和北墙面交出一条抛物线，抛物线与外立面之间和谐、统一，明明走到过街天桥上照了一张照片（如图所示）．明明想了想，算了算，对旁边的文文说：“我猜想这条抛物线的顶点到地面的距离应是15.7米左右．” 文文反问：“你猜想的理由是什么”？明明说：“我的理由是”．明明又说：“不过这只是我的猜想，这次准备不充分，下次来我要用学过的数学知识准确的测测这个高度，我想用学到的知识，我要带等测量工具”．

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16. 计算： $2^{- 2} - {(π - \sqrt{3})}^{0} + | - 3 | - \frac{1}{2} \cos 60 °$ ．

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17. 已知 $x^{2} - 6 x - 3 = 0$ ，求代数式 $2 x (x - 3) - (x + 1) (x - 1) + 3$ 的值．

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18. 已知如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3： 5，AE=8，BD=4，求DC的长．

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19. 如图，一次函数y₁=-x+2的图象与反比例函数y₂= $\frac{k}{x}$ 的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，-m）．

(1)、求出m值并确定反比例函数的表达式；

(2)、请直接写出当x＜2m时，y₂的取值范围．

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20. 已知如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=105°，AC=2 $\sqrt{3}$ ，求AB的长．

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21. 已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O的半径．

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22. 如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin32°= 0.53，cos32°= 0.85，tan32°= 0.62）

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23. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

(1)、求证：AB=BE；

(2)、若PA=2，cosB= $\frac{3}{5}$ ，求⊙O半径的长．

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24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．

(1)、若花园的面积为192m² ，求x的值；

(2)、若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求x取何值时，花园面积S最大，并求出花园面积S的最大值．

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25. 在“解直角三角形”一章我们学习到“锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数，统称为锐角三角函数” ．
小力根据学习函数的经验，对锐角的正弦函数进行了探究．下面是小力的探究过程，请补充完成：

(1)、函数的定义是：“一般地，在一个变化的过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，y称为因变量，y是x的函数”．由函数定义可知，锐角的正弦函数的自变量是，因变量是，自变量的取值范围是．

(2)、利用描点法画函数的图象．小力先上网查到了整锐角的正弦值，如下：
sin1°=0.01745240643728351    sin2°=0.03489949670250097    sin3°=0.05233595624294383
sin4°=0.0697564737441253     sin5°=0.08715574274765816    sin6°=0.10452846326765346
sin7°=0.12186934340514747    sin8°=0.13917310096006544    sin9°=0.15643446504023087
sin10°=0.17364817766693033   sin11°=0.1908089953765448    sin12°=0.20791169081775931
sin13°=0.22495105434386497 sin14°=0.24192189559966773 sin15°=0.25881904510252074
sin16°=0.27563735581699916   sin17°=0.2923717047227367    sin18°=0.3090169943749474
sin19°=0.3255681544571567    sin20°=0.3420201433256687    sin21°=0.35836794954530027
sin22°=0.374606593415912     sin23°=0.3907311284892737    sin24°=0.40673664307580015
sin25°=0.42261826174069944   sin26°=0.4383711467890774    sin27°=0.45399049973954675
sin28°=0.4694715627858908    sin29°=0.48480962024633706   sin30°=0.5000000000000000
sin31°=0.5150380749100542    sin32°=0.5299192642332049    sin33°=0.544639035015027
sin34°=0.5591929034707468    sin35°=0.573576436351046     sin36°=0.5877852522924731
sin37°=0.6018150231520483    sin38°=0.6156614753256583    sin39°=0.6293203910498375
sin40°=0.6427876096865392 sin41°=0.6560590289905073 sin42°=0.6691306063588582
sin43°=0.6819983600624985    sin44°=0.6946583704589972    sin45°=0.7071067811865475
sin46°=0.7193398003386511 sin47°=0.7313537016191705 sin48°=0.7431448254773941
sin49°=0.7547095802227719 sin50°=0.766044443118978 sin51°=0.7771459614569708
sin52°=0.7880107536067219 sin53°=0.7986355100472928 sin54°=0.8090169943749474
sin55°=0.8191520442889918    sin56°=0.8290375725550417    sin57°=0.8386705679454239
sin58°=0.848048096156426 sin59°=0.8571673007021122 sin60°=0.8660254037844386
sin61°=0.8746197071393957 sin62°=0.8829475928589269 sin63°=0.8910065241883678
sin64°=0.898794046299167     sin65°=0.9063077870366499    sin66°=0.9135454576426009
sin67°=0.9205048534524404 sin68°=0.9271838545667873 sin69°=0.9335804264972017
sin70°=0.9396926207859083    sin71°=0.9455185755993167    sin72°=0.9510565162951535
sin73°=0.9563047559630354    sin74°=0.9612616959383189    sin75°=0.9659258262890683
sin76°=0.9702957262759965    sin77°=0.9743700647852352    sin78°=0.9781476007338057
sin79°=0.981627183447664     sin80°=0.984807753012208     sin81°=0.9876883405951378
sin82°=0.9902680687415704    sin83°=0.992546151641322     sin84°=0.9945218953682733
sin85°=0.9961946980917455    sin86°=0.9975640502598242    sin87°=0.9986295347545738
sin88°=0.9993908270190958    sin89°=0.9998476951563913
①列表（小力选取了10对数值）；
x
…

…
y
…

…
②建立平面直角坐标系（两坐标轴可视数值需要分别选取不同长度做为单位长度）；
③描点．在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点；
④连线．根据描出的点，画出该函数的图象；

(3)、结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．

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26. 已知：抛物线 $y_{1} = x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴分别交于点A（-3，0），B（m，0）．将y₁向右平移4个单位得到y₂ ．

(1)、求b的值；

(2)、求抛物线y₂的表达式；

(3)、抛物线y₂与 $y$ 轴交于点D，与 $x$ 轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线 $y = k x + k - 1$ 与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线 $y = k x + k - 1$ 与抛物线y₂的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．

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27. 如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．

(1)、当t= $\frac{1}{2}$ 秒时，则OP= ， S_△_ABP=；

(2)、当△ABP是直角三角形时，求t的值；

(3)、如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3．为了证明AQ·BP=3，小华同学尝试过O点作OE∥AP交BP于点E．试利用小华同学给我们的启发补全图形并证明AQ·BP=3．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

(3)、当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使 $6 \leq x \leq 13$ ，求K点坐标．

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