4月之解直角三角形—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷日期：2025-04-20 考试类型：二轮复习

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一、选择题

1. 四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图).如果小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为 $θ$ ，那么 $t a n θ$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 如图，在△ABC中，AB=AC，点G是重心，连结AG交BC于点D， BC=4， cos∠ACB= $\frac{2}{5}$ ， F是边AC上一点，当FG⊥AD时，则CF的长为（）

A、1 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， a，b，c分别为 $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边，且有 $c^{2} + 9 b^{2} - 6 b c = 0$ ，则 $s i n A$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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4. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = 4, A C = 6$ ，分别以 $A B, A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C G F$ ，连结 $C F, D F$ ，设 $∠ C F D = α$ ，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5. 如图，BD是正方形ABCD的对角线， $E$ 为边BC上的动点（不与端点重合），点 $F$ 在BC的延长线上，且 $C F = B E$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ B D$ 于点 $G$ ，连结 $A E, E G$ ．则下列比值为定值的是（）

A、 $\frac{E G}{A E}$ B、 $\frac{E G}{B G}$ C、 $\frac{E G}{E F}$ D、 $\frac{E G}{D G}$

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二、填空题

6. 长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是.

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7. 如图，已知AD//BC，BD⊥AC，AC=4，BD=8，则 sin∠DBC=.

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8. 如图，在Rt∠ABC中，∠ABC=90°，tan∠ACB= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， BC=8，D 是斜边AC上的动点，以线段 BD为一边并在其右侧作等边三角形BDE，连结CE，则CE的最小值是.

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三、解答题

9. 如图是某种固定式遮阳棚的实物图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了其横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷AB长为3米，与水平面的夹角为20°，且靠墙端离地高BC为3.5米。

(1)、求遮阳棚外端A点离地面的高度；

(2)、若在某天的日照时间内，此处太阳光线与地面的夹角范围为45°至70°之间（包含45°和70°），求日照时间内阴影CE的最小值与最大值。（结果精确到0.1，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

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10. 小吉购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图如图2，测得底座AB的高为2 cm， ∠ABC=150°，支架长 BC为 18 cm，面板长 DE为24 cm，CD为6 cm（厚度忽略不计）.

(1)、求支点C离桌面/的高度

(2)、当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足30°<α<60°，当面板与桌面的夹角增大时，点E离桌面1的高度也随之增大，问当面板DE绕点C转动过程中，点E离桌面l最大高度与最小高度的差是多少?（计算结果保留根号）

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11. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，要用尺规在直角边 $B C$ 上找一点 $P$ 使 $∠ B A P = ∠ A C B$ ．
作图方法：延长 $A B$ ，以 $B$ 为圆心， $A B$ 为半径作圆，交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ，连结 $C D$ 交圆于点 $E$ ，连接 $A E$ 交 $B C$ 的点即为 $P$ ．

(1)、求证：通过尺规作图， $∠ B A P = ∠ A C B$ ；

(2)、若 $B P = 2, C P = 7$ ，求 $\tan ∠ A C B$ ．

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12. 如图1，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, ⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连结CD交AB于点 $E$ .

(1)、求 $∠ D C B$ 的度数.

(2)、如图2，过点 $A$ 作 $A F ⊥ C D$ ，连结OD ，若 $t a n D = \frac{1}{2}, A E = \sqrt{5}$ .
①若 $\overset{⌢}{A C} < \overset{⌢}{B C}$ ，求 $\frac{C E}{E D}$ .
②连结OF ，求OF的长.

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13. 问题：如何将物品搬过直角过道?

情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是 $1.2 m$ .矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为 $0.8 m$ .

操作：

步骤	动作	目标
1	靠边	将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上
2	推移	矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点 $O$ 在边AD上
3	旋转	如图2，将矩形ABCD绕点 $O$ 旋转 $9 0^{°}$
4	推移	将矩形ABCD沿OT方向继续推移

探究：

(1)、如图2，已知BC=1.6m，OD=0.6m.小明求得

O C = 1 m

后，说：“

O C < 1.2 m

，该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗？请通过计算说明.

(2)、如图3，物品转弯时被卡住（

C, B

分别在墙面PQ与PR上)，若

t a n ∠ C B P = \frac{3}{4}

.求OD的长.

(3)、求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值(精确到0.01米，

\sqrt{5} \approx 2.236

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14. 如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是圆上不同于 $A, B$ 的任意一点，延长 $C A$ 到点 $D$ ，连结 $B D$ ．过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $E$ ，连结 $A E$ ．

(1)、求证： $∠ A C E = ∠ A B C$ ．

(2)、如图2，若 $A E ∥ B C, A E = 2, A C = 3$ ，求 $t a n D$ 的值．

(3)、若 $t a n ∠ A C E = \frac{1}{2}, \frac{D E}{B E} = \frac{1}{m}$ ，求 $t a n D$ 的值（用含 $m$ 的代数式表示）

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