浙教版（2024）数学七年级下册5.5 分式方程同步分层练习

试卷日期：2025-04-17 考试类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 如果方程 $\frac{x + 1}{x - 4} + 1 = \frac{m}{4 - x}$ 有增根，那么m的值等于（）

A、 $- 5$ B、4 C、5 D、 $- 6$

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2. 解分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{5}{3 - x} - 2$ 去分母变形正确的是（）

A、 $x = 5 - 2 (x - 3)$ B、 $x = - 5 - 2 (x - 3)$ C、 $x = 5 - 2 (3 - x)$ D、 $- x = - 5 + 2 (3 - x)$

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3. 若 $\frac{a - 1}{2 a} = 0$ ，则 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2

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4. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈 $= 10$ 尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有 $x$ 尺，则可得方程为 $120 - \frac{896}{x} = \frac{896}{30 - x}$ 根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（）

A、每尺绫布比每尺罗布贵120文 B、每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C、每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D、绫布的总价比罗布总价便宜120文

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5. 甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（）

A、 $\frac{30000}{x + 1000}$ ＝ $\frac{25000}{x}$ B、 $\frac{30000}{x}$ ＝ $\frac{25000}{x + 1000}$ C、 $\frac{30000}{x}$ ＝ $\frac{25000}{x - 1000}$ D、 $\frac{30000}{x - 1000}$ ＝ $\frac{25000}{x}$

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6. 如果关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x + 2} = \frac{a}{x - 1}$ 的解是 $x = 2$ ，那么 $a$ 的值是．

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7. 若 $\frac{2}{x - 2} = 1$ ，则 $x =$ ．

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8. 某车间计划在一定时间内生产 $240$ 套零配件，生产 $3$ 天后改进了技术，结果每天比原计划多生产 $4$ 套并提前 $6$ 天完成生产任务 $.$ 设原计划每天生产 $x$ 套零配件，则可列方程为．

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9. 解分式方程： $\frac{3}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} - 1$

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二、能力提升

10. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，长沙市某中学针对九年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程。课程开设后学校花费6000元购进了第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元。设第一批面粉采购量为 $x$ 千克，依题意所列方程正确的是（）

A、 $\frac{9600}{1.5 x} - \frac{6000}{x} = 0.4$ B、 $\frac{9600}{x} - \frac{6000}{1.5 x} = 0.4$ C、 $\frac{6000}{1.5 x} - \frac{9600}{x} = 0.4$ D、 $\frac{6000}{x} - \frac{9600}{1.5 x} = 0.4$

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11. 关于 $x$ 的方程 $\frac{2 - a}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2}$ 的解是负数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 1$ B、 $a < 1$ C、 $a < 1$ 或 $a \neq 3$ D、 $a > 1$ 且 $a \neq 3$

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12. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{x - 1} + \frac{m}{x - 2} = \frac{2 m + 2}{(x - 1) (x - 2)}$ 无解，则 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ 或 $- 1$ B、 $- 2$ 或0 C、 $- \frac{3}{2}$ 或 $- 2$ 或0 D、 $- \frac{3}{2}$ 或 $- 2$ 或 $- 1$

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13. 解方程 $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$ 时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是( )

A、x=-3 B、x=-2 C、 $x = \frac{1}{3}$ D、 $x = - \frac{1}{3}$

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14. 当 $x =$ 时，分式 $\frac{1}{x - 3}$ 与 $\frac{1}{x + 3}$ 的值互为相反数．

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15. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；苦改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的 $\frac{4}{3}$ 倍，则规定时间为天.

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16. 对于照相机成像的原理公式： $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} (v \neq f),$ 若已知f，v，怎样确定u?

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三、拓展创新

17. 阅读下列解题过程：
已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值．
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，知 $x \neq 0$ ，所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即 $x + \frac{1}{x} = 3$ ．
∴ $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$ ．
∴ $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为7的倒数，即 $\frac{1}{7}$ ．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：

(1)、已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{1}{2}$ ，则 $x + \frac{1}{x} =$ _________．

(2)、解分式方程组： $\{\begin{array}{l} \frac{m n}{3 m + 2 n} = 3 \\ \frac{m n}{2 m + 3 n} = 5 \end{array}$

(3)、已知 $\frac{x y}{x + y} = 1$ ， $\frac{y z}{y + z} = \frac{3}{8}$ ， $\frac{z x}{z + x} = 3$ ，求 $\frac{x y z}{x y + y z + z x}$ 的值．

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18. 根据以下信息，探索解决问题：

背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 $1500$ 件新产品进行加工后再投放市场 $.$ 每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 $1$	每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的 $1.5$ 倍；
信息 $2$	每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 $10$ 天；
信息 $3$	每天满工作量情况下，甲工厂加工 $1$ 天，乙工厂加工 $2$ 天共需要 $10000$ 元；甲工厂加工 $2$ 天，乙工厂加工 $3$ 天共需要 $16100$ 元．
问题解决
问题 $1$	$1$ 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为 $x$ 件，结合信息 $1$ 可得：乙工厂每天加工数量为件 $($ 请用 $x$ 的代数式表示 $)$ ．
问题 $2$	每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 $3$	公司将 $1500$ 件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数 $.$ 请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？

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浙教版（2024）数学七年级下册5.5 分式方程 同步分层练习

一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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