沪科版数学七年级下册8.4因式分解解法类型汇总（同步测试）-试卷详情-出卷网

1. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）

A、 $(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$ B、 $a^{2} - 4 a + 4 = a (a - 4) + 4$ C、 $5 a x^{2} - 5 a y^{2} = 5 a (x + y) (x - y)$ D、 $a^{2} - 2 a - 8 = (a - 2) (a + 4)$

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2. 将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．

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3. 下面是甲同学对多项式 $(x^{2} + 4 x + 2) (x^{2} + 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程．
解：设 $x^{2} + 4 x = y$ ，
原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第一步）
$= y^{2} + 8 y + 16$ （第二步）
$= (y + 4)^{2}$ （第三步）
$= {(x^{2} + 4 x + 4)}^{2}$ ．（第四步）
回答下列问题：

(1)、甲同学第二步到第三步运用了因式分解的．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法

(2)、通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果：．

(3)、请尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

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4. 分解因式：a²+ 5a=.

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5. 因式分解： $2 m (a - b) - 3 n (a - b) =$ ．

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6. 因式分解： $x^{2} y - x y^{2} =$ ．

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7. 把多项式 $（ a - 1 ）^{2} - 4$ 分解因式，结果正确的是（）

A、 $（ a - 1 ）（ a + 3 ）$
B、 $（ a + 3 ）（ a - 5 ）$
C、 $（ a + 5 ）（ a - 3 ）$
D、 $（ a + 1 ）（ a - 3 ）$

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8. 分解因式：

(1)、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{16};$

(2)、 $16 x^{2} + 4 x + \frac{1}{4} 。$

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9. 因式分解：

(1)、 $m^{2} - 4$ .

(2)、 $9 a^{3} - 12 a^{2} + 4 a$ .

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10. 阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： $a x + a y + b x + b y$
解：原式 $= (a x + a y) + (b x + b y)$
$= a (x + y) + b (x + y)$
$= (a + b) (x + y)$ ．
例2：“三一分组”： $2 x y + x^{2} - 1 + y^{2}$
解：原式 $= (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 1$
$= {(x + y)}^{2} - 1$
$= (x + y + 1) (x + y - 1)$ ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：

(1)、 $x^{2} - x y + 4 x - 4 y$ ；

(2)、 $x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$ ．

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11. 因式分解：

(1)、 $a^{3} b - a b^{3} + a^{2} + b^{2} + 1$ ；

(2)、 $9 a^{2} - 4 b^{2} + 4 b c - c^{2}$ ．

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12. 【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项

例1分解因式：x⁴+4

解：原式＝x⁴+4x²+4﹣4x²＝（x²+2）²﹣4x²＝（x²﹣2x+2）（x²+2x+2）

例2分解因式：x³+5x﹣6

解：原式＝x³﹣x+6x﹣6＝x（x²﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x²+x+6）

【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：

(1)、分解因式：x²+16x﹣36＝．

(2)、运用拆项添项法分解因式：x⁴+4y⁴ ．

(3)、化简： $\frac{x^{3} - x^{2} - 4}{x - 2}$ ．

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13. 在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ${(a - b)}^{2} = 49$ ， $a b = 18$ ，求代数式 $a^{2} + b^{2}$ 的值．可以这样思考：
因为 ${(a - b)}^{2} = 49$ ， $a b = 18$

所以 $a^{2} + b^{2} - 2 a b = 49$

即 $a^{2} + b^{2} - 2 \times 18 = 49$

所以 $a^{2} + b^{2} = 49 + 2 \times 18 = 85$

举一反三：

(1)、已知 ${(a - b)}^{2} = 12$ ， ${(a + b)}^{2} = 28$ ，求 $a b$ 的值．

(2)、已知 $a + \frac{1}{a} = 4$ ，则 $a^{4} + \frac{1}{a^{4}}$ 的值．

(3)、已知 $x^{2} + x = 1$ ，求 $x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} - 2 x + 2019$ 的值．

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14. 睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式 $x^{2} + (p + q) x + p q = (x + p) (x + q)$ 的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式 $x^{2} + 7 x + 10$ 因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项 $10 = 2 \times 5$ ，一次项系数 $7 = 2 + 5$ ，则 $x + 7 x + 10 = (x + 2) (x + 5)$ ，如图所示，仿照上述解决下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} + 6 x + 8$ ；
睿睿做了如下分析：
一次项为： $○ + □ = 6$ ，则常数项为： $○ \times □ = 8$ ；
则 $○ =$ ________； $□ =$ ________；
∴ $x^{2} + 6 x + 8 =$ （ $x +$ ____）（ $x +$ ____）

(2)、因式分解： $x^{2} - 5 x + 6$ ；

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15. 如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空： $x^{2} + (p + q) x + p q = x^{2} + p x + q x + p q =$ （______） $\times$ （______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
$x^{2} + (p + q) x + p q = x^{2} + p x + q x + p q = (x^{2} + p x) + (q x + p q) = x$ （______） $+ q$ （______）（提示：提公因式） $=$ （______） $\times$ （______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式 $x^{2} + 5 x + 6$ 因式分解．
$x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 =$ $x^{2} + 2 x + 3 x + 2 \times 3 = (x^{2} + 2 x) + (3 x + 2 \times 3) = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3)$
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1） $x^{2} + 7 x + 12$ ；
（2） ${(y^{2} + y)}^{2} - 5 (y^{2} + y) + 6$ ．

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沪科版数学七年级下册8.4因式分解解法类型汇总（同步测试）

一、因式分解的概念

二、提公因式法

三、公式法

四、分组分解法

五、添项拆项法

六、阅读新定义型（其他解法）

七、十字相乘法