第四章《因式分解》—北师版数学八年级下册单元检测

试卷日期：2025-04-05 考试类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）

A、x²﹣1＝x•x﹣1 B、x²+2xy+1＝x（x+2y）+1 C、a²b+ab³＝ab（a+b²） D、x（x+y）＝x²+xy

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2. 已知 $x y = - 3$ ， $x - y = 2$ ，则代数式 $x y^{2} - x^{2} y$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 5$ D、 $- 1$

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3. 把多项式a²﹣4a分解因式，结果正确的是（　　）

A、a（a﹣4） B、（a+2）（a﹣2） C、（a﹣2）² D、a（a+2（a﹣2）

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4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解且分解因式正确的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = (x + y) (x - y)$ B、 $x^{2} - x y + 2 = x (x - y) + 2$ C、 $(x - 3) (x + 1) = x^{2} - 2 x - 3$ D、 $x^{2} - x y + x = x (x - y + 1)$

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5. 如图，边长为 $a, b$ 的长方形的周长为 $14$ ，面积为 $10$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为（）

A、 $140$ B、 $70$ C、 $35$ D、 $24$

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6. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）

A、a²+4b² B、﹣x²+16y² C、﹣a²﹣4b² D、a﹣4b²

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7. 下列算式不正确的是（）

A、 $999 \times 1001 = (1000 - 1) \times (1000 + 1) = 1000^{2} - 1$ B、 $80^{2} - 160 \times 78 + 78^{2} = {(80 - 78)}^{2}$ C、 $25^{7} - 5^{12} = 5^{14} - 5^{12} = 5^{12} (5^{2} - 1)$ D、 $199^{2} = {(200 - 1)}^{2} = 200^{2} - 1$

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8. 已知 $4^{32} - 1$ 可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（）

A、12，14 B、13，15 C、14，16 D、15，17

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9. 若n为大于3的整数，则n³-3n²+2n（）

A、能被3整除不一定能被6整除 B、能被6整除不一定能被12整除 C、能被12整除不一定能被24整除 D、以上说法都不对

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10. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} = 2 a b + 2 b c$ ，据此判断 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 因式分解： $(a^{2} - b^{2}) - a - b =$ ．

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12. 若 $m + n = 3$ ， $m n = 2$ ，则 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值为

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13. 把 $x^{2} + 5 x + c$ 分解因式得 $(x + 2) (x + 3)$ ，则 $c$ 的值为．

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14. 多项式 $a x^{2} - a$ 与多项式 $2 x^{2} - 4 x + 2$ 的公因式分别是.

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15. 若 $x + y = 1$ ，则 $x^{2} - y^{2} + 2 y + 5 =$ ．

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16. 如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解：．

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三、解答题（共5题，共72分）

17. 分解因式：

(1)、7x²-28；

(2)、x(x-y)+y(y-x)；

(3)、(x²+4)²-16x²；

(4)、x⁴-1.

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18. 因式分解：

(1)、 $2 x^{2} - 18$ ；

(2)、 $3 x^{2} - 12 x y + 12 y^{2}$ ；

(3)、 $9 x^{2} (a - b) + 16 y^{2} (b - a)$ ；

(4)、 ${(y^{2} - 1)}^{2} - 6 (y^{2} - 1) + 9$ .

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19. 阅读材料，要将多项式 $a m + a n + b m + b n$ 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a ，再把它的后两项分成一组，提出公因式b ，从而得到： $a m + a n + b m + b n = a (m + n) + b (m + n)$ ，这时 $a (m + n) + b (m + n)$ 中又有公因式 $(m + n)$ ，于是可以提出 $(m + n)$ ，从而得到 $(m + n) (a + b)$ ，因此有 $a m + a n + b m + b n = a (m + n) + b (m + n) = (m + n) (a + b)$ ，这种方法称为分组法．请回答下列问题：

(1)、尝试填空： $a c - b c + a b - a^{2} =$ ；

(2)、解决问题：因式分解 $2 x - 18 + x y - 9 y$ ；

(3)、拓展应用：已知三角形的三边长分别是a ， b ， c ，且满足 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c = 0$ ，试判断这个三角形的形状，并说明理由．

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20. 下面是某同学对多项式（x²﹣4x+2）（x²﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x²﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4　（第一步）= y²+8y+16　（第二步）
=（y+4）²（第三步） = （x²﹣4x+4）²（第四步）

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的____（填序号）．

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1进行因式分解．

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21. 阅读材料：若 $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求 $m$ 、 $n$ 的值．
解：∵ $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ， ∴ $(m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$
∴ ${(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ， ∴ ${(m - n)}^{2} = 0$ ， ${(n - 4)}^{2} = 0$ ， ∴ $n = 4$ ， $m = 4$ ．
根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、已知 $x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 6 y + 9 = 0$ ，求 $x y$ 的值；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正整数，且满足 $a^{2} + b^{2} - 10 a - 12 b + 61 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的最大边 $c$ 的值；

(3)、已知 $a - b = 8$ ， $a b + c^{2} - 16 c + 80 = 0$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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第四章 《因式分解》—北师版数学八年级下册单元检测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共5题，共72分）

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