末尾数字规律与数列中的规律—备考2025中考数学规律型探究题

试卷日期：2025-03-30 考试类型：二轮复习

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一、选择题

1. 观察下列等式： $3^{1} = 3, 3^{2} = 9, 3^{3} = 27, 3^{4} = 81$ ， $3^{5} = 243, 3^{6} = 729, 3^{7} = 2187, ⋯$ .由上述规律可知， $3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + ⋯ + 3^{2023}$ 的末位数字是（）

A、3 B、9 C、2 D、0

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2. 生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 $2^{n}$ 来表示，即： $2^{1} = 2$ ， $2^{2} = 4$ ， $2^{3} = 8$ ， $2^{4} = 16$ ， $2^{5} = 32$ ， ……，请你推算 $2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + 2^{2023}$ 的个位数字是（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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3. 已知 f（1）=2（取1×2计算结果的末位数字），f（2）=6（取2×3计算结果的末位数字），f（3）=2（取3×4计算结果的末位数字）……则. $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2020)$ 的值为（）

A、2020 B、4040 C、4042 D、4030

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4. 数学家把4，10，16，22，28，…叫做等差数列数.根据它的规律，第100个等差数列数为（）

A、600 B、2017 C、602 D、598

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5. 有一列数 $\frac{1}{1} ， \frac{1}{2} ， \frac{2}{1} ， \frac{1}{3} ， \frac{2}{2} ， \frac{3}{1} ， \dots ， \frac{1}{k} ， \frac{2}{k - 1} ， \frac{3}{k - 2} ， \dots ， \frac{k}{1} ， \cdot$ ·在这列数中，第50个值等于1的项的序号是（）

A、4900 B、4901 C、5000 D、5001

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二、填空题

6. 已知：N=1992×1993×1994+1993×1994×1995+1994×1995×1996+1995×1996×1997，则 N 的末位数字是.

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7. 已知一列数a₁ ， a₂ ， a₃ ， …， an，其中 $a_{1} = 0, a_{2} = 2 a_{1} + 1, a_{3} = 2 a_{2} + 1, \dots, a_{n + 1} = 2 a_{n} +$ 1，则 $a_{2}_{0}_{2}_{0} - a_{2}_{0}_{1}_{9}$ 的个位数字是。

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8. 取整符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如：|[3.14]=3，[0.618]=0.给出一列数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{n} ，$ 已知 $x_{1} = 2 ，$ 且当k≥2时，满足 $x_{k} = x_{k - 1} + 1 - 4 ([\frac{k - 1}{4}] - [\frac{k - 2}{4}]) ，$ 则x₂₀₂₄的值为.

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9. 甲乙两人玩一个游戏：将n（n为奇数）个数排成一列，记作 $[a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{n}]$ ，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．
（1）对于 $[1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5]$ ，被删除一次后可以成为 $[3 ， 4 ， 5]$ 或 $[1 ， 4 ， 5]$ 以及一些其他情况，写出未列举的其他情况；（写出一种即可）
（2）对于 $[2 ， 9 ， 1 ， 7 ， 3 ， 4 ， 5 ， 8 ， 6]$ ，最后剩下的数为．

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10. 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列.如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2.若一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列.例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列.二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数是，第2014个数是

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三、解答题

11. 阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项，记为 $a_{1}$ ，排在第二位的数称为第二项，记为 $a_{2}$ ，以此类推，排在第 $n$ 位的数称为第 $n$ 项，记为 $a_{n}$ .所以，数列的一般形式可以写成： $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ ，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用 $d$ 表示.如：数列 $1, 3, 5, 7, \dots$ 为等差数列，期中 $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ ，公差为 $d = 2$ .根据以上材料，解答下列问题：

(1)、等差数列 $5, 10, 15, \dots$ 的公差 $d$ 为，第5项是.

(2)、如果一个数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ ，是等差数列，且公差为 $d$ ，那么根据定义可得到： $a_{2} - a_{1} = d, a_{3} - a_{2} = d, a_{4} - a_{3} = d, \dots, a_{n} - a_{n - 1} = d, \dots$ .所以
$a_{2} = a_{1} + d$
$a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d$
$a_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d$
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： $a_{n} = a_{1} +$ （）d

(3)、求-4039是等差数列 $- 5, - 7, - 9, \dots$ 的第几项?并说明理由.

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12. 按照一定顺序排列的一列数被称为数列，排在第一位的数被称为第一项，记为 $a_{1} ，$ 以此类推，排在第n位的数被称为第n项，记为 a_n.
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示 $(q \neq 0) .$ 如：数列1，3，9，27，…，为等比数列，其中 $a_{1} = 1 ，$ 公比为q=3.

(1)、等比数列3，6，12，…的第六项是.

(2)、如果一个数列a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ， …是等比数列，且公比为q.根据定义可得到： $\frac{a_{2}}{a_{1}} = q ， \frac{a_{3}}{a_{2}}$ $= q ， \frac{a_{4}}{a_{3}} = q ， \dots ， \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = q .$ 所以 $a_{2} = a_{1} \cdot q ， a_{3} = a_{2} \cdot q = (a_{1} \cdot q) \cdot q = a_{1} \cdot q^{2} ， a_{4} = a_{3} \cdot q =$ $(a_{1} \cdot q^{2}) \cdot q = a_{1} \cdot q^{3} ， \dots ，$ 由此可得 $a ₙ =$ （用a₁和q的代数式表示）

(3)、若用 Sn表示等比数列（a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ， …， an中前n 项的和，证明可分q=1和q≠1两种情况.当q=1时， $a_{2} = a_{1} ， a_{3} = a_{1} ， a_{4} = a_{1} ， \dots ， ∴ S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = n a_{1}$
①请根据q=1的证明方法，证明当q≠1时，等比数列前 n项和 $S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ 成立.
②求（1）中等比数列 S₆的值.

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