数阵类规律—备考2025中考数学规律型探究题

试卷日期：2025-03-30 考试类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} = 3$ ， $a_{4} = 3$ ， $a_{5} = 6$ ， $a_{6} = 4$ ， $a_{7} = 10$ ， $a_{8} = 5$ ……，则 $a_{99} + a_{100}$ 的值为（　　）

A、1275 B、1326 C、1378 D、1431

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2. 将一组数 $\sqrt{2}$ ， 2， $\sqrt{6}$ ， $2 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ， $2 \sqrt{3}$ ， …， $\sqrt{2 n}$ ， …，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是( )

A、 $7 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{58}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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3. 观察下边的数表 (横排为行，坚排为列)，按数表中的规律，分数 $\frac{20}{2023}$ 若排在第 $a$ 行第 $b$ 列，则 $a - b$ 的值为（）

A、2003 B、2004 C、2022 D、2023

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4. 如图所示，观察 “品”字形中各数之间的变化情况，根据观察到的规律得出 $n$ 的值为（）

A、491 B、1045 C、1003 D、533

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5. 观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第2023行从左边数第2023个数是（　　）

A、 $2022^{2} + 2023$ B、 $2023^{2} + 2023$ C、 $- 2022^{2} - 2023$ D、 $- 2023^{2} - 2023$

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6. 四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 号座位上 $($ 如图所示 $)$ ，以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置， $\dots$ ，这样一直下去，第 $2024$ 次交换位置后，小鼠所在的座号是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

7. 如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数： $1$ ， $3$ ， $6$ ， $10$ ， $15$ ， …，我们把第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ， …第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ ，则 $a_{2024} - a_{2022} =$ ．

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8. 将连续的正整数排成如图所示的数表．记a_（_i_，_j_）为数表中第i行第j列位置的数字，如a_（₁_，₂_）＝4，a_（₃_，₂_）＝8，a_（₅_，₄_）＝22．若a_（_m_，_n_）＝2024，则m＝， n＝．

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三、解答题

9. 一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数： $0 + 7 = 7$ ；
第三行第3个数： $3 + 7 = 10$ ．

(1)、求x的值；

(2)、若一个数位于第n行的第2个数．
①用含n的代数式表示这个数：；
②若这个数等于 $- 37$ ，求出该数所在的行数n ．

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10. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，
在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²展开式中各项的系数：第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着（a＋b）3＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³展开式中各项的系数等等．

(1)、根据上面的规律， $(a + b)^{4}$ 展开式的各项系数中最大的数为；

(2)、若 $(2 x + 1)^{2021} = a_{1} x^{2021} + a_{2} x^{2020} + a_{33} x^{2019} + ⋯ ⋯ \cdot + a_{2019} x^{2} + a_{2020} x + 1$ ，求 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - \dots \dots$ $+ a_{2020} - 1$ 的值.

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