等式类规律—备考2025中考数学规律型探究题

试卷日期：2025-03-30 考试类型：二轮复习

前去【出卷网】下载

一、选择题

1. 已知 $4^{8} - 1 = (4^{4} + 1) (4^{4} - 1) = \dots$ ，则按此规律推算 $4^{8} - 1$ 的结果一定能（）

A、被12整除 B、被13整除 C、被14整除 D、被15整除

查看试题解析
2. 已知 $a_{1}$ 为实数，规定运算： $a_{2} = 1 - \frac{1}{a_{1}}$ ， $a_{3} = 1 - \frac{1}{a_{2}} ， a_{4} = 1 - \frac{1}{a_{3}} ， a_{5} = 1 - \frac{1}{a_{4}} ， \dots \dots ， a_{n} =$ $1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ．按上述方法计算：当 $a_{1} = 3$ 时， $a_{2024}$ 的值等于（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
3. 给定一列数，我们把这列数中第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，以此类推，第n个数记为 $a_{n}$ （n为正整数）．已知 $a_{1} = x (x \neq 0, x \neq 1)$ ，并规定： $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n}}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \dots a_{n}$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ，下列说法：
① $a_{2} = a_{15}$ ；
② $T_{1} + T_{2} + T_{3} + \dots + T_{2024} = 2 x + 1$ ；
③对于任意正整数k ，都有 $T_{3 k + 1} (S_{3 k} - S_{3 k + 2}) = T_{3 k - 2} \cdot T_{3 k + 1} - T_{3 k + 2}$ 成立．
其中正确的个数是（）．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

查看试题解析

二、填空题

4. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，得 $a b = 1$ ，记 $S_{1} =$ $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}, S_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}, ⋯, S_{10} = \frac{1}{1 + a^{10}} + \frac{1}{1 + b^{10}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + ⋯ + S_{10} =$

查看试题解析
5. 观察下列等式：
$1^{2} - 1^{2} = 0$ ，
$3^{2} - 1^{2} = 8$ ，
$5^{2} - 1^{2} = 24$ ，
$7^{2} - 1^{2} = 48$ ， $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$
照此规律，第 $n$ 个等式为．

查看试题解析
6. 已知对于任意正整数 $n$ ，都有 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n^{3}$ ，则 $\frac{1}{a_{2} - 1} + \frac{1}{a_{3} - 1} + \dots + \frac{1}{a_{100} - 1} =$ ．

查看试题解析
7. 我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如 $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{12} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}, \frac{1}{20} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}, \frac{1}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ 请用观察到的规律解方程 $\frac{1}{x (x + 1)} + \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} + ⋯ + \frac{1}{(x + 9) (x + 10)} = \frac{5}{x + 10}$ 该方程的解是．

查看试题解析

三、解答题

8. 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ …

(1)、计算 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} =$ ；

(2)、探究 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n \times （ n + 1 ）}$ （用含n的式子表示）

(3)、若 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots . + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}$ 的值为 $\frac{17}{35}$ ，求 $n$ 的值．

查看试题解析
9. 观察前后两个差为4的整数的平方差：
① $5^{2} - 1^{2} = 8 \times 3$ ；② $6^{2} - 2^{2} = 8 \times 4$ ；③ $7^{2} - 3^{2} = 8 \times 5$ ；……

(1)、写出第n个等式，并进行证明．

(2)、问 $2024$ 是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．

查看试题解析
10. 观察下列等式，并完成下列问题：
第1个： $2^{2} = 1 \times 3 + 1$ ；
第2个： $3^{2} = 2 \times 4 + 1$ ；
第3个： $4^{2} = 3 \times 5 + 1$ ；
第4个： $5^{2} = 4 \times 6 + 1$ ；
……

(1)、请你写出第5个等式：__________；

(2)、第n（ $n \geq 1$ ，且n为整数）个等式可表示为__________；

(3)、运用上述结论，计算： $2024^{2} - 2022^{2}$ ．

查看试题解析
11. 观察下面的一列数： $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}, a_{3} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}, a_{4} = \frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{4}{5}$

(1)、尝试： $a_{2} - a_{1} = \frac{1}{2}; a_{3} - a_{2} =$ $; a_{4} - a_{3} =$ .

(2)、归纳： $a_{n + 1} - a_{n} =$ .

(3)、推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的.

查看试题解析
12. 设 $\bar{a 5}$ 是一个两位数，其中 $a$ 是十位上的数字 $(1 ⩽ a ⩽ 9)$ ．例如，当 $a = 4$ 时， $\bar{a 5}$ 表示的两位数是45．

(1)、尝试：
①当 $a = 1$ 时， $15^{2} = 225 = 1 \times 2 \times 100 + 25$ ；
②当 $a = 2$ 时， $25^{2} = 625 = 2 \times 3 \times 100 + 25$ ；
③当 $a = 3$ 时， $35^{2} = 1225 =$ .

(2)、归纳： ${\bar{a 5}}^{2}$ 与 $100 a (a + 1) + 25$ 有怎样的大小关系？试说明理由．

(3)、运用：若 ${\bar{5}}^{2}$ 与 $100 a$ 的差为2525，求 $a$ 的值．

查看试题解析
13. 观察以下等式：
第1个等式： $2 \times 2 = 2 + 2$ ，
第2个等式： $3 \times \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2}$ ，
第3个等式： $4 \times \frac{4}{3} = 4 + \frac{4}{3}$ ，
第4个等式： $5 \times \frac{5}{4} = 5 + \frac{5}{4}$ ，
……
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、请直接写出第6个等式．

(2)、写出你猜想的第 $n$ 个等式（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

查看试题解析
14. “字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展．经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算．请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式： $2^{2} = 1 + 1^{2} + 2$ ；第2个等式： $3^{2} = 2 + 2^{2} + 3$ ；
第3个等式： $4^{2} = 3 + 3^{2} + 4$ ；第4个等式： $5^{2} = 4 + 4^{2} + 5$ ；

(1)、请用此方法拆分 $2024^{2}$ ．

(2)、请你用上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）并运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．

查看试题解析
15. 观察下列各式：
① $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ，
② $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt[]{\frac{1}{4}}$ ，
③ $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}$ ，

(1)、请观察规律，并写出第④个等式：；

(2)、请用含 $n (n ⩾ 1)$ 的式子写出你猜想的规律：.

(3)、请证明 (2) 中的结论．

查看试题解析

16. 我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究.结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些 “神秘 ”性质.

探索数的神秘性质
素材	尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和.	举例论证： 1³=1；2³=3+5 3³=7+9+11；请你按规律写出： 4³ =
规律总结	当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ▲ ；	当m为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ▲ .
综合应用	利用上面结论计算： $1_{}^{3} + 2_{}^{3} + 3_{}^{3} + ⋯ + 1 0_{}^{3} + 1 1_{}^{3}$
拓展延伸	我们还发现以下规律：已知 $m \geq 2; n \geq 3$ 时，且 m，n均为正整数，如果将 $m_{}^{n}$ 进行如图所示的 “分解 ” ：若 $m_{}^{n}$ (且m ，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31 ，则 $m_{}^{n}$ 的值为 ▲ .

查看试题解析