10.分式方程方程的运算-备考中考数学计算专项训练

试卷日期：2025-03-26 考试类型：二轮复习

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一、选择题

1. 分式方程 $\frac{1}{x - 2} - 3 = \frac{2}{2 - x}$ 的解是（）

A、 $x = - \frac{7}{3}$ B、 $x = - 1$ C、 $x = \frac{5}{3}$ D、 $x = 3$

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2. 在分式方程 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 x - 1} = 5$ 中，设 $\frac{2 x - 1}{x^{2}} = y$ ，可得到关于y的整式方程为（）

A、 $y^{2} + 5 y + 5 = 0$ B、 $y^{2} - 5 y + 5 = 0$ C、 $y^{2} + 5 y + 1 = 0$ D、 $y^{2} - 5 y + 1 = 0$

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3. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x}{x - 1} = \frac{m}{x - 1} + 5$ 有增根，则 $m$ 的值是（）

A、-3 B、-2 C、0 D、2

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4. 如果关于x的分式方程 $\frac{1}{x} - \frac{m}{x + 1} = 0$ 的解是负数，那么实数m的取值范围是（）

A、m<1且m≠0 B、m<1 C、m>1 D、m<1且m≠－1

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5. 已知关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 2} + 1 = \frac{x}{2 - x}$ 的解是非负数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 2$ B、 $m \geq 2$ C、 $m \leq 2$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m < 2$ 且 $m \neq - 2$

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6. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= $\frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（　　）

A、1- $\sqrt{2}$ B、2- $\sqrt{2}$ C、1+ $\sqrt{2}$ 或1- $\sqrt{2}$ D、1+ $\sqrt{2}$ 或﹣1

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二、填空题

7. 分式 $\frac{7}{x - 2}$ 与 $\frac{x}{2 - x}$ 的和为4，则x的值为．

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8. 若关于x的分式方程 $\frac{m}{x - 2}$ = $\frac{1 - x}{2 - x}$ ﹣3有增根，则实数m的值是．

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9. 若关于x的方程 $\frac{1}{x - 4}$ + $\frac{m}{x + 4}$ = $\frac{m + 3}{x^{2} - 16}$ 无解，则m的值为．

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10. 若点 $Q (x, y)$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x y}$ ，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标．

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11. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{4 x - 1}{3} < x + 1 \\ 2 (x + 1) \geq - x + a \end{array}$ 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 1} = 2 - \frac{3}{1 - y}$ 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为.

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三、计算题

12. 解分式方程： $\frac{x - 2}{x - 1} = \frac{2}{1 - x} - 2$ ．

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13. 当 $b = k a$ 时，分式 $\frac{a^{2} + a b - b^{2}}{a^{2} - a b + b^{2}} - \frac{a - b}{a + b}$ 的值为0，求 $k$ 的值.

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14. 解方程： $1 - \frac{1}{x^{2} + 7 x + 6} = \frac{x^{2} - 5 x + 5}{x^{2} - 5 x + 6}$

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15. 阅读材料：已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值.
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 得， $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，则有 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，

由此可得， $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7 ；$ 所以 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1} = \frac{1}{7}$

请理解上述材料后求：已知 $\frac{x}{x^{2} + x + 1} = a$ ，用a的代数式表示 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值．

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四、解答题

16. 根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 $x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2}$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} = 3, x_{2} = \frac{1}{3}$ 方程 $x + \frac{1}{x} = 4 + \frac{1}{4}$ 的解为 $x_{1} = 4, x_{2} = \frac{1}{4} \dots \dots$
以此类推：

(1)、请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 $x + \frac{1}{x} = 8 + \frac{1}{8}$ 的解是______；

(2)、根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 $x + 1 + \frac{1}{x + 1} = a + \frac{1}{a} (a \neq 0)$ 得到 $x + 1 =$ ________；

(3)、拓展延伸：由（2）可知，在解方程 $x + \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{82}{9}$ 时，可变形转化为 $x + \frac{1}{x} = a + \frac{1}{a}$ 的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．

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17. 定义：若分式 $A$ 与分式 $B$ 的和等于它们的积，即 $A + B = A B$ ，则称分式 $A$ 与分式 $B$ 互为“等和积分式” $.$ 如 $\frac{2}{1 + x}$ 与 $\frac{2}{1 - x}$ ，因为 $\frac{2}{1 + x} + \frac{2}{1 - x} = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{2}{1 + x} \cdot \frac{2}{1 - x} .$ 所以 $\frac{2}{1 + x}$ 与 $\frac{2}{1 - x}$ 互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式” $.$ 又如求 $\frac{1}{a}$ 的等和积分式，可设其为 $B$ ，由定义有 $\frac{1}{a} + B = \frac{1}{a} \cdot B$ ，去分母得 $1 + a \cdot B = B$ ，解得 $B = \frac{1}{1 - a} .$ 解答以下问题：

(1)、判断分式 $\frac{2 a}{a + 1}$ 与分式 $\frac{2 a}{a - 1}$ 是不是等和积分式，说明理由；

(2)、求分式 $\frac{x}{x - 3 y}$ 的“等和积分式”；

(3)、 $①$ 观察 $(1) (2)$ 的结果，寻找规律，直接写出分式 $\frac{b}{a}$ 的“等和积分式” ▲ ；
$②$ 用发现的规律解决问题：
若 $\frac{m - 1}{n x + 2 x}$ 与 $\frac{n + 1}{2 m - m x}$ 互为“等和积分式”，求实数 $m$ ， $n$ 的值．

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