8.二元一次方程（组）的运算-备考中考数学计算专项训练

试卷日期：2025-03-26 考试类型：二轮复习

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一、单选题

1. 方程 $x + 2 y = 5$ 的非负整数解有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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2. 关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 19 \\ a x + b y = - 1 \end{array}$ 与 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 9 \\ b x + a y = - 7 \end{array}$ 有相同的解，则 $a + 4 b - 5$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 6$ C、 $- 10$ D、 $- 12$

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3. 若x，y满足方程组 $\{\begin{matrix} x + 4 y = 4 \\ 2 x - 2 y = 13 \end{matrix}$ ，则 $3 x + 2 y$ 的值为（）

A、17 B、9 C、21 D、7

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4. 关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 19 \\ a x + b y = - 1 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 9 \\ b x + a y = - 7 \end{array}$ 有相同的解，则 ${(a + b)}^{2022}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2022

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5. 若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a x - b y = - 4 \\ a x + b y = 8 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} a (x + 3) - b (y - 1) = - 4 \\ a (x + 3) + b (y - 1) = 8 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 4 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 4 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 2 \end{array}$

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6. 已知关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = - a + 1 \\ x - 3 y = 4 a + 6 \end{array}$ （a是常数），若不论a取什么实数，代数式 $k x - y$ （k是常数）的值始终不变，则k的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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7. 对于非零的两个实数a，b，规定 $a \oplus b = a m - b n$ ，若 $3 \oplus (- 5) = 15, 4 \oplus (- 7) = 28$ ，则 $(- 1) \oplus 2$ 的值为（）

A、-13 B、13 C、2 D、-2

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二、填空题

8. 已知3x＋y＝2，用关于x的代数式表示y，则y＝.

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9. 如果实数 $m ， n$ 满足方程组 $\{\begin{matrix} 2 m - n = 7 \\ m + n = - 1 \end{matrix}$ ，那么 $m - 2 n =$ ．

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10. 已知方程组 ${\begin{cases} 3 x + 4 y = m + 2 ， \\ 2 x + 3 y = m \end{cases}$ （ $m \neq 1$ ），则 $x + y$ 的值为．

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11. 如果一个四位数 $S = \bar{a b c d}$ 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 $a + b = 9$ ，那么称这个四位数 $S$ 为“胜利数”．将“胜利数” $S$ 的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为 $S_{1}$ ，记 $P (S) = \frac{S - S_{1}}{10}$ ，例如：四位数1729，∵ $1 + 7 \neq 9$ ， ∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵ $5 + 4 = 9$ ， ∴5432是“胜利数”， $P (5432) = \frac{5432 - 352}{10} = 508$ .若 $P (S)$ 能被7整除，令 $t = a + c$ ，则所有满足条件的 $t$ 之和是；若对于“胜利数” $S$ ，在 $P (S)$ 能被7整除的情况下，记 $G (S) = \frac{a + d}{c - b}$ ，则当 $G (S)$ 取得最大值时，“胜利数” $S$ 是．

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三、计算题

12. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} x + y = 7 \\ 2 x - y = 2 \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{matrix} 4 x + y = 5 ， \\ \frac{x - 1}{2} + \frac{y}{3} = 2 . \end{matrix}$

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13. 用加减法解下列方程组：
$(1) \{\begin{matrix} 2 m + 7 n = 5, \\ 3 m + n = - 2; \end{matrix}$ (2) $\{\begin{matrix} 2 u - 5 v = 12, \\ 4 u + 3 v = - 2; \end{matrix}$ (3) $\{\begin{matrix} \frac{x}{3} - \frac{y}{7} = \frac{1}{2}, \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{7} = \frac{1}{3} 。 \end{matrix}$

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14. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 2 x - y = 3 \\ 3 (x + 2) + 2 (y - 4) = 6 \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} \frac{x}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1 \\ 3 x + 2 y = 10 \end{array}$

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15. 解方程组
$\{\begin{array}{l} 3 (x + y - 1) + 2 (x - y) = 64 ， ① \\ 4 (x + y - 1) + 5 (y - x - 3) = 78 ． ② \end{array}$

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16. 解方程组： $\{\begin{array}{l} 4 (\frac{2}{15} x - y) - 3 (\frac{1}{15} x + y) = 6 \\ 4 (\frac{2}{15} x - y) + 3 (\frac{1}{15} x + y) = 18 \end{array}$ ．

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四、解答题

17. 阅读理解下面材料，并解决问题：
【材料阅读】
有些问题，所要求的结果往往不是某一个量的值，而是某些式子或问题的整体值．
如下面的问题：
问题：已知实数x，y同时满足 $3 x - y = 5$ ①，和 $2 x + 3 y = 7$ ②．求代数式 $7 x + 5 y$ 的值．
思路1：将①和②联立组成方程组，先求得x，y的值后，再代入 $7 x + 5 y$ 求值
思路2：为降低运算量，由 $① + ② \times 2$ ，可直接得出 $7 x + 5 y = 19$ 这样的解题思路即为整体思想．

(1)、已知方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = 7 \\ 2 x + 3 y = 3 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ______；

(2)、已知方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 1 + 3 m \\ x + 3 y = 1 - m \end{array}$ 的解满足 $x + y > 0$ ，则m的取值范围是______．

(3)、若购买13支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需33元；若购买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，求购买1支铅笔、1块橡皮、3本日记本共需多少元？

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18. （1）点点在解方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 ① \\ 4 x + 11 y = 5 ② \end{array}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形： $4 x + 10 y + y = 5$ ，即 $2 (2 x + 5 y) + y = 5. ③$
把方程①代入③得： $2 \times 3 + y = 5$ ，所以 $y = - 1$ ．
把 $y = - 1$ 代入①得， $x = 4$ ．
所以方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ ．
请你模仿点点的“整体代换”法解方程组 $\{\begin{array}{l} 5 a - 2 b = 5 \\ 15 a - 4 b = 25 \end{array}$ ．
（2） $\bar{a 5}$ 表示一个两位数，其中 $a$ 为 $1 ～ 9$ 的整数．圆圆在研究 $\bar{a 5}$ 平方的规律时发现：
$15^{2} = 15 \times 15 = 225 = (1 \times 2) \times 100 + 25$ ．
$25^{2} = 25 \times 25 = 625 = (2 \times 3) \times 100 + 25$ ．
$35^{2} = 35 \times 35 = 1225 = (3 \times 4) \times 100 + 25. \dots$
猜想 ${(\bar{a 5})}^{2}$ 的结果，并说明理由．

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