将军饮马模型之一线两点(一动两定)—中考数学最值问题攻关练-试卷详情-出卷网

1. 如图，AB＝4，动点P满足S_△PAB＝4，则PA+PB的最小值为（）

A、5 B、 $2 \sqrt{1} 3$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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2. 如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）

A、3 B、6 C、9 D、3 $\sqrt{3}$

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3. 如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE＝1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 如图，点E在等边 $△ A B C$ 的边BC上， $B E = 6$ ，射线 $C D ⊥ B C$ 于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当 $E P + P F$ 的值最小时， $B F = 7$ ，则AC为（）

A、14 B、13 C、12 D、10

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5. 如图， B D 是 $△ A B C$ 的角平分线， $B A = B C = 10, A C = 12, P, Q$ 分别是 B D 和 B C 上的任意一点，连结 P C， P Q，则 $P C + P Q$ 的最小值是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{48}{5}$ C、10 D、12

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6. 如图， $A B ⟂ B C, A B = 3, B C = 7, C D = \sqrt{50} ∠ B C D = 135 ° .$ M是线段BC上的一个动点，连结AM，DM.点M在运动过程中， $A M +$ DM的最小值为.

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7. 如图点P是边长为3的菱形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上的一个动点，点 $M 、 N$ 分别是 $A B 、 B C$ 边上的中点，则 $M P + N P$ 的最小值为．

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8. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (3, 0)$ ， $B (0, 2)$ ，过点 $B$ 作 $y$ 轴的垂线 $l$ ， $P$ 为直线 $l$ 上一动点，连接 $P O$ ， $P A$ ，则 $P O + P A$ 的最小值为.

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9. 如图，已知菱形ABCD，连接AC，点E为对角线AC上的任意一点，点F为AD的中点，若∠B=120°，AC=3，则DE+FE的最小值是．

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10. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 $l$ 同旁有两个定点A、B，在直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $P A + P B$ 的值最小．解法：如图1，作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，则 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点即为 $P$ ，且 $P A + P B$ 的最小值为 $A^{'} B$ ．请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图2， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A C = B C = 2, E$ 是 $A B$ 的中点， $P$ 是 $B C$ 边上的一动点，则 $P A + P E$ 的最小值为；
（2）几何拓展：如图3， $△ A B C$ 中， $A C = 2, ∠ A = 30 °$ ，若在 $A B$ 上取一点 $M$ ，则 $2 C M + A M$ 的值最小值是．

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11. 如图， $△ A B C$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形， $∠ A B C = 90 °, C D ⊥ B C, E, F$ 分别是 $A C, C D$ 上的点， $A E = C F$ ，则 ${(B E + B F)}^{2}$ 的最小值为．

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12. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点8的坐标是（-2，0）.

(1)、点 $A$ 的坐标是，点 $C$ 的坐标是；

(2)、请作出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ ；（点 $A$ 与点 $A^{^{'}}$ 对应，点 $B$ 与点 $B^{^{'}}$ 对应，点 $C$ 与点 $C^{^{'}}$ 对应）；

(3)、 $y$ 轴上存在点 $P$ ，使得 $P A + P C$ 的值最小，则 $P A + P C$ 的最小值是.

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13. 作图题：
如图，在平面直角坐标系中， $A (2, 3)$ ， $B (3, 1)$ ， $C (- 2, - 1)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标．

(2)、在 $y$ 轴上画出点 $P$ ，使 $P A + P B$ 最小．（不写作法，保留作图痕迹）

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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14. 如图，直线 $l : y = k x + b (k \neq 0)$ 与坐标轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，以 $O A$ 为边在 $y$ 轴的右侧作正方形 $A O B C$ ，且 $S_{△ A O B} = 8$ ．

(1)、求直线 $l$ 的解析式；

(2)、如图1，点 $D$ 是 $x$ 轴上一动点，点 $E$ 在 $A D$ 的右侧， $∠ A D E = 90 °$ ， $A D = D E$ ．
①当 $A E + C E$ 最小时，求 $E$ 点的坐标；
②如图2，点 $D$ 是线段 $O B$ 的中点，另一动点 $H$ 在直线 $B E$ 上，且 $∠ H A C = ∠ B A D$ ，请求出点 $H$ 的坐标．

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15. 研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

(1)、阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ （图1）．因为在平面 $A A^{'} C^{'} C$ 中， $C C^{'} / / A A^{'}$ ， $A A^{'}$ 与 $A B$ 相交于点A ，所以直线 $A B$ 与 $A A^{'}$ 所成的 $∠ B A A^{'}$ 就是既不相交也不平行的两条直线 $A B$ 与 $C C^{'}$ 所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，求既不相交也不平行的两条直线 $B A^{'}$ 与 $A C$ 所成角的大小．

(2)、如图2，M ， N是正方体相邻两个面上的点．
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是；
②在所选正确展开图中，若点M到 $A B$ ， $B C$ 的距离分别是2和5，点N到 $B D$ ， $B C$ 的距离分别是4和3，P是 $A B$ 上一动点，求 $P M + P N$ 的最小值．

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16. 如图，直线y=- $\frac{3}{2}$ x-2分别交x轴、y轴于A、B两点，与双曲线y= $\frac{m}{x}$ （m≠0）在第二象限内的交点为C，CD⊥y轴于点D，且CD=4．

(1)、求双曲线的解析式；

(2)、设点Q是双曲线上的一点，且△QOB的面积是△AOB的面积的2倍，求点Q的坐标；

(3)、在y轴上存在点P，使PA+PC最短，请直接写出点P的坐标．

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17. 在平面直角坐标系中，直线 $y = - x - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，并与 $x$ 轴的正半轴交于点 $C$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 满足的关系式及 $c$ 的值；

(2)、当 $a = \frac{1}{4}$ 时，若点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，求 $△ A B P$ 周长的最小值；

(3)、当 $a = 1$ 时，若点 $Q (m, n)$ 是直线 $A B$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $Q$ 作 $Q D ⊥ A B$ 于点 $D$ ．当 $m$ 取何值时，线段 $Q D$ 取最大值？并求出 $Q D$ 的最大值．

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18. 如图1，抛物线 $y = a (x - h)^{2} + k$ 交 $x$ 轴于 $O, A (4, 0)$ 两点，顶点为 $B (2, 2 \sqrt{3})$ .点 $C$ 为OB的中点.

(1)、求拋物线 $y = a (x - h)^{2} + k$ 的表达式；

(2)、过点C作 $C H ⊥ O A$ ，垂足为 $H$ ，交抛物线于点 $E$ .求线段CE的长.

(3)、点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点 $F$ 的坐标；
②如图3，连接 $B D ， B F$ ，求 $B D + B F$ 的最小值.

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一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

五、阅读理解题

六、综合题