2025年山东省青岛市中考数学模拟试题

试卷日期：2025-03-19 考试类型：中考模拟

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一、选择题（每题3分，共27分）

1. 港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（　　）

A、1269×10⁸ B、1.269×10⁸ C、1.269×10¹⁰ D、1.269×10¹¹

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2. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋ b| － |a － b| ＋ |a ＋ c|的结果为（）

A、－a－c B、－a－b－c C、－a－2b－c D、a－2b＋c

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3. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，点 $A 、 B 、 C$ 都在方格纸的格点上，若点A的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点B的坐标为 $(2 ， 0)$ ，则点C的坐标是（）

A、 $(2 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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5. 如图， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $A D$ 与 $B C$ 相交于点F， $∠ C D E = 56 °$ ，则 $∠ D C E$ 的度数是（　　）

A、56° B、62° C、63° D、72°

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C ， D是 $⊙ O$ 上的两点，若 $∠ A B D = 41 °$ ，则 $∠ B C D$ 的大小为（）

A、41° B、45° C、49° D、59°

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二、填空题（每空3分，共18分）

三、作图题（共8分）

7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 是对角线．

(1)、用尺规完成基本作图：作线段 $A C$ 的垂直平分线，交 $A C$ 于点O，交 $A B$ 、 $C D$ 延长线分别于点 E、F，连接 $C E$ 、 $A F$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形．

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四、解答题（共9题，共67分）

8. 阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 为例，构造方法如下：
首先将方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 变形为 $x (x + 2) = 35$ ，然后画四个长为 $x + 2$ ，宽为 $x$ 的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 ${(x + x + 2)}^{2}$ ，还可表示为四个矩形与一个边长为 $2$ 的小正方形面积之和，即 $4 x (x + 2) + 2^{2} = 4 \times 35 + 4$ ．因此，可得新方程 ${(x + x + 2)}^{2} = 144$ ．因为 $x$ 表示边长，所以 $2 x + 2 = 12$ ，即 $x = 4$ ．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程 $x^{2} - 4 x - 12 = 0 (x > 0)$ 的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ ，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ ，即 $x (____) = 1$ ；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如 $x^{2} + a x = b$ 的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 $a =$ ______， $b =$ ______，求得方程的正根为______．

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9. 正方形 $A B C D$ 的边长为5，E、F分别是 $A B, B C$ 边上的点，且 $∠ E D F = 45 °$ ，将 $△ D A E$ 绕点D逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ D C M$ ．

(1)、求证： $△ D E F ≌ △ D M F$ ；

(2)、若 $A E = 2$ ，求 $E F$ 的长．

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