二次函数中新定义型存在性问题—中考数学复习专项

试卷日期：2025-03-16 考试类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $y$ 是以 $x$ 为自变量的函数，当 $x = m$ 时，函数值为 $M$ ，若存在实数 $m$ ，使得 $M = 3 m - 3$ ，则称点 $(m ， M)$ 是函数 $y$ 的“奇妙点”，以下函数存在两个“奇妙点”的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = 5 x^{2} - x$ C、 $y = 2 x + 1$ D、 $y = x^{2} - 3 x + 1$

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2. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数 $y = x^{2} - x + c$ （ $c$ 为常数）在 $- 2 < x < 4$ 的图象上存在两个二倍点，则 $c$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 < c < \frac{1}{4}$ B、 $- 4 < c < \frac{9}{4}$ C、 $- 4 < c < \frac{1}{4}$ D、 $- 10 < c < \frac{9}{4}$

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二、填空题

3. 对于一个二次函数 $y = a (x - m)^{2} + k$ （ $a \neq 0$ ）中存在一点 $P (x^{'}, y^{'})$ ，使得 $x^{'} - m = y^{'} - k \neq 0$ ，则称 $2 | x^{'} - m |$ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 3$ “开口大小”为．

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三、解答题

4. 定义：对于两个关于x的函数，如果存在x取某一值时，两个函数的函数值相等，那么称两个函数互为“明盟函数”，其中x的值叫做这两个函数的“明盟点”，相等的函数值叫做“明盟值”．例如：对于函数y₁＝2x与y₂＝﹣x+3，当x＝1时，y₁＝y₂＝2，因此，y₁、y₂互为“明盟函数”，x＝1是这两个函数的“明盟点”，“明盟值”为2．

(1)、下列函数中是y＝﹣2x的“明盟函数”的有（填序号）；
①y＝x﹣2；② $y = \frac{1}{x}$ ；③y＝x²+1．

(2)、已知函数y₁＝m（x+2）﹣3与函数y₂ $= \{\begin{array}{l} x - 3 (x \geq 3) \\ 3 - x (x ＜ 3) \end{array}$ ，若y₁与y₂只存在一个“明盟点”，求m的值或取值范围；

(3)、若无论n取何值， $y = 3 x - n (n + \frac{1}{n} + 2 w) (w$ 为常数）与函数y＝x²﹣（2n﹣3）x+4n﹣1（n为常数，﹣1＜n≤4）始终是“明盟函数”，且只有一个“明盟点”，求w的值以及“明盟值”的范围．

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5. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．

(1)、若关于x的函数y＝(m+1)x²+(m²-1)x是“T函数”，求m的值；

(2)、若点A（1，r）与点B（s ， 4）是关于x的“T函数”y＝ ${\begin{cases} - \frac{4}{x} (x < 0) \\ t x^{2} (x \geq 0 ， t \neq 0 ， t 是常数） \end{cases}$ 的图象上的一对“T点”，求r ， s ， t的值；

(3)、若关于x的“T函数”y＝ax²+bx+c（a＞0，且a ， b ， c是常数）经过坐标原点O ，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m ， n是常数）交于M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）两点，当x₁ ， x₂满足x₁+x₂＝x₁x₂时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

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6. 定义：如果两个函数y₁ ， y₂存在x取同一个值，使得y₁＝y₂ ，那么称y₁ ， y₂互为“等值函数”，对应的x值为y₁ ， y₂的“等值根”．

(1)、函数y₁＝ $\frac{1}{2}$ x+b与 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．

(2)、如图所示的是y＝﹣|x²+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x²﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y₁＝ $\frac{1}{2}$ x+b与y₂＝﹣|x²+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．

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7. 规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点P（2，4）在函数 $y = x^{2}$ 上，点Q（ $- 2$ ， $- 4$ ）在函数 $y = - 2 x - 8$ 上，点P与点Q关于原点对称，此时函数 $y = x^{2}$ 和 $y = - 2 x - 8$ 互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．

(1)、函数 $y = - 2 x - 1$ 和函数 $y = 4 x$ 是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不是，请说明理由；

(2)、已知函数 $y = x^{2} + 2 x$ 和 $y = 4 x + n - 2022$ 互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值时对应的“守望点”；

(3)、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a > 0)$ 与 $y = 2 b x + 1$ 互为“守望函数”，有且仅有一对“守望点”，若二次函数的顶点为M，与x轴交于 $A (x_{1}, 0)$ ， $B (x_{2}, 0)$ ，其中 $0 < x_{1} < x_{2}$ ， $A B = 2$ ，又 $a = \frac{4 c}{c^{2} - c + 6}$ ，过顶点M作x轴的平行线l交y轴于点N，直线 $y = 2 b x + 1$ 与y轴交点为点Q，动点E在x轴上运动，求抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ $(a > 0)$ 上的一点F的坐标，使得四边形 $F Q E N$ 为平行四边形．

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8. 我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”.例如在二次函数y＝x²的图象上，存在一点P（﹣1，1），则点P为二次函数y＝x²图象上的“互反点”.

(1)、求一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”.

(2)、若二次函数y＝x²﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，且与y轴交于正半轴，求当1≤x≤3时，y的取值范围.

(3)、若对于任意的实数n，在二次函数y＝（m+1）x²+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，求m的取值范围.

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9. 新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，a+2），则称点P为函数图象上的“朴实点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“朴实点”是P（1，3）．

(1)、判断直线y＝ $\frac{1}{3}$ x+4上是否有“朴实点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由；

(2)、若抛物线y＝x²+3x+2-k上存在两个“朴实点”，两个“朴实点”之间的距离为2 $\sqrt{2}$ ，求k的值；

(3)、若二次函数y＝ $\frac{1}{8}$ x²+（m-t+1）x+2n+2t-2的图象上存在唯一的“朴实点”，且当-2≤m≤3时，n的最小值为t+4，求t的值．

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二次函数中新定义型存在性问题—中考数学复习专项

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题