二次函数中最值问题的存在性问题—中考数学复习专项
试卷日期:2025-03-16 考试类型:二轮复习
一、填空题
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1. 如图,已知抛物线+P+q的对称轴为直线=-2,过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为(-1,-1).若在轴上存在一点P,使得PM+PN最小,则点P的坐标为.2. 对某一个函数给出如下定义:若存在实数 ,对于任意的函数值 ,都满足 ,则称这个函数是有界函数 , 在所有满足条件的 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.将函数 的图象向上平移 个单位,得到的函数的边界值 满足是 时,则 的取值范围是.
二、解答题
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3. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A,B在轴上,抛物线经过点B,两点,且与直线DC交于一点E.(1)、求抛物线的解析式;(2)、若点P为y轴上一点,探究是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)、若点F为抛物线对称轴上一点,点Q为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;4. 已知抛物线的顶点为 , 且 , 对称轴与轴相交于点 , 点在抛物线上,为坐标原点.(1)、当时,求该抛物线顶点的坐标;(2)、当时,求的值;(3)、若是抛物线上的点,且点在第四象限, , 点在线段上,点在线段上, , 当取得最小值为时,求的值.5. 已知y是关于x的函数,若其函数图象经过点P(t,t),则称点P为函数图象上的“和谐点”.
(1)求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标;
(2)若抛物线y=﹣x2+(a+1)x﹣a+1上有“和谐点”,且“和谐点”为A(x1 , y1)和B(x2 , y2),求W=x12+x22的最小值;
(3)若函数y=x2+(m﹣t+1)x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时,n的最小值为t,求t的值.
6.已知:二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.
(1)请直接写出点A、点B的坐标.
(2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.
(3)如图1,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点(点Q不与点0、B重合).过点Q作QD∥AC交BC于点D,设Q点坐标(m,0),当△CDQ面积S最大时,求m的值.
7.如图1.已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,A点坐标为(﹣2,0),B的坐标为(4,0).直线l过B,C两点.点P是线段BC上的一个动点(点P不与B,C两点重合).在点P运动过程中,始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动,该直线与抛物线的交点为M,与x轴的交点为N.
(1)①求出抛物线的函数表达式;②直接写出直线l的函数表达式;
(2)若直线MN把△OBC的面积分成1:3的两部分,求出此时点P的坐标.
(3)如图2,①连接BM,CM,设△MBC的面积是S,在点P的运动过程中,S是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
②当△MBC的面积最大时,直线MN上另有一动点E,在坐标平面内是否存在点F,使以点A,P,E,F为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由
8. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M.(1)求此抛物线的解析式和对称轴;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
9. 对于某一函数给出如下定义:如果存在实数p , 当其自变量的值为p时,其函数值等于p , 则称p为这个函数的不动值,在函数存在不动值时,该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度,特别地,当函数只有一个不动值时,其不动长度q为0,例如,下图中的函数有0和1两个不动值,其不动长度q为1.(1)、下列函数①y=2x , ②y=x2+1,③y=x2﹣2x中存在不动值的是 (填序号)(2)、函数y=3x2+bx ,①若其不动长度为0,则b的值为 ;
②若﹣2≤b≤2,求其不动长度q的取值范围;
(3)、记函数y=x2﹣4x(x≥t)的图象为G1 , 将G1沿x=t翻折后得到的函数图象记为G2 , 函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不动长度q满足0≤q≤5,则t的取值范围为 .10. 如图, 是以 为底边的等腰三角形,A,C分别是一次函数 的图象与y轴,x轴的交点,点B在二次函数 的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形 能构成平行四边形.(1)、求该二次函数的表达式;(2)、动点P在线段 上从点A至点D运动,同时动点Q在线段 上从点C到点A运动,两点都是以每秒1个单位长度的速度运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止.①当 是直角三角形时,求P的坐标;
②四边形 的面积是否有最小值?若有,求出面积的最小值和点P的坐标;若没有,请说明理由.
11. 如图,在平而直角坐标系中,二次函数的图象与轴分别交于点 , 顶点为 . 连接 , 将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段 , 连接 . 点分别在线段上,连接与交于点 .(1)、求点的坐标;(2)、随着点线段上运动.①的大小是否发生变化?请说明理由;
②线段的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)、当线段的中点在该二次函数的因象的对称轴上时,的面积为.12. 如图所示,抛物线与轴相交于、两点,与轴相交于点 , 点为抛物线的顶点.在抛物线的对称轴上是否存在一点 , 使得的值最小,若存在,清求出点的坐标并求出最小值;若不存在,请说明理由.13. 对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是2.(1)、函数①和②中是有上界函数的为(只填序号即可),其上确界为;(2)、如果函数的上确界是b,且这个函数的最小值不超过 , 求的取值范围;(3)、如果函数是以3为上确界的有上界函数,求实数的值.14. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(2,0),B(﹣4,0)两点.(Ⅰ)求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若抛物线交y轴于点C,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,请直接写出点P的坐标和△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由.
三、实践探究题
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15. 课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出 , 求二次函数的最小值.
①请你写出对应的函数解析式;
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值;
【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表:
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…
注:*为②的计算结果.
【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取 , 就能得到y的最小值.”
乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式 , 解释甲同学的说法是否合理?
(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.