二次函数中最值问题的存在性问题—中考数学复习专项

试卷日期：2025-03-16 考试类型：二轮复习

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一、填空题

1. 如图，已知抛物线 $y = x^{2}$ +P $x$ +q的对称轴为直线 $x$ =－2，过其顶点 $M$ 的一条直线 $y = k x + b$ 与该抛物线的另一个交点为 $N$ （－1，－1）．若在 $y$ 轴上存在一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为.

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2. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 $m > 0$ ，对于任意的函数值 $y$ ，都满足 $- m \leq y \leq m$ ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 $m$ 中，其最小值称为这个函数的边界值.例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1.将函数 $y = - x^{2} + 1 (- 2 \leq x \leq t ， t \geq 0)$ 的图象向上平移 $t$ 个单位，得到的函数的边界值 $n$ 满足是 $\frac{9}{4} \leq n \leq \frac{5}{2}$ 时，则 $t$ 的取值范围是.

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二、解答题

3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在 $x$ 轴上，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点B， $D (- 4, 5)$ 两点，且与直线DC交于一点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P为y轴上一点，探究 $E P + P B$ 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、若点F为抛物线对称轴上一点，点Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

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4. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c 为常数， a > 0)$ 的顶点为 $P$ ，且 $2 a + b = 0$ ，对称轴与 $x$ 轴相交于点 $D$ ，点 $M (m, 1)$ 在抛物线上， $m > 1 ， O$ 为坐标原点．

(1)、当 $a = 1 ， c = - 1$ 时，求该抛物线顶点 $P$ 的坐标；

(2)、当 $O M = O P = \frac{\sqrt{13}}{2}$ 时，求 $a$ 的值；

(3)、若 $N$ 是抛物线上的点，且点 $N$ 在第四象限， $∠ M D N = 90 ° ， D M = D N$ ，点 $E$ 在线段 $M N$ 上，点 $F$ 在线段 $D N$ 上， $N E + N F = \sqrt{2} D M$ ，当 $D E + M F$ 取得最小值为 $\sqrt{15}$ 时，求 $a$ 的值．

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5. 已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”．
（1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标；
（2）若抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+（ $\frac{2}{3}$ a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x₁ ， y₁）和B（x₂ ， y₂），求W=x₁²+x₂²的最小值；
（3）若函数y= $\frac{1}{4}$ x²+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．

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6.
已知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

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7.
如图1．已知抛物线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x²+bx+c与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，A点坐标为（﹣2，0），B的坐标为（4，0）．直线l过B，C两点．点P是线段BC上的一个动点（点P不与B，C两点重合）．在点P运动过程中，始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动，该直线与抛物线的交点为M，与x轴的交点为N．
（1）①求出抛物线的函数表达式；②直接写出直线l的函数表达式；
（2）若直线MN把△OBC的面积分成1：3的两部分，求出此时点P的坐标．
（3）如图2，①连接BM，CM，设△MBC的面积是S，在点P的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②当△MBC的面积最大时，直线MN上另有一动点E，在坐标平面内是否存在点F，使以点A，P，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由

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8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M．
（1）求此抛物线的解析式和对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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9. 对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p ，当其自变量的值为p时，其函数值等于p ，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，下图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．

(1)、下列函数①y＝2x ， ②y＝x²+1，③y＝x²﹣2x中存在不动值的是（填序号）

(2)、函数y＝3x²+bx ，
①若其不动长度为0，则b的值为；

②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；

(3)、记函数y＝x²﹣4x（x≥t）的图象为G₁ ，将G₁沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G₂ ，函数G的图象由G₁和G₂两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为．

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10. 如图， $△ A B C$ 是以 $B C$ 为底边的等腰三角形，A，C分别是一次函数 $y = - x + 3$ 的图象与y轴，x轴的交点，点B在二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形 $A B C D$ 能构成平行四边形.

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、动点P在线段 $A D$ 上从点A至点D运动，同时动点Q在线段 $A C$ 上从点C到点A运动，两点都是以每秒1个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止.
①当 $△ A P Q$ 是直角三角形时，求P的坐标；

②四边形 $P D C Q$ 的面积是否有最小值？若有，求出面积的最小值和点P的坐标；若没有，请说明理由.

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11. 如图，在平而直角坐标系中，二次函数 $y = - \sqrt{3} x^{2} + 2 \sqrt{3} x$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $O ， A$ ，顶点为 $B$ ．连接 $O B ， A B$ ，将线段 $A B$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ 得到线段 $A C$ ，连接 $B C$ ．点 $D ， E$ 分别在线段 $O B ， B C$ 上，连接 $A D ， D E ， E A ， D E$ 与 $A B$ 交于点 $F ， ∠ D E A = 60 °$ ．

(1)、求点 $A ， B$ 的坐标；

(2)、随着点 $E$ 线段 $B C$ 上运动．
① $∠ E D A$ 的大小是否发生变化？请说明理由；

②线段 $B F$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；

(3)、当线段 $D E$ 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时， $△ B D E$ 的面积为．

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12. 如图所示，抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $P A + P C$ 的值最小，若存在，清求出点 $P$ 的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由．

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13. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数 $y = - {(x - 3)}^{2} + 2$ 是有上界函数，其上确界是2．

(1)、函数① $y = x^{2} + 2 x + 1$ 和② $y = 2 x - 3 (x \leq 2)$ 中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；

(2)、如果函数 $y = - x + 2 (a \leq x \leq b ， b > a)$ 的上确界是b，且这个函数的最小值不超过 $2 a + 1$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、如果函数 $y = x^{2} - 2 a x + 2 (1 \leq x \leq 5)$ 是以3为上确界的有上界函数，求实数 $a$ 的值．

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14. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）若抛物线交y轴于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请直接写出点P的坐标和△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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三、实践探究题

15. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ 的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 $a = - 4$ ，求二次函数 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
a
…
$- 4$
$- 2$
0
2
4
…
x
…
*
2
0
$- 2$
$- 4$
…
y的最小值
…
*
$- 9$
$- 3$
$- 5$
$- 15$
…
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 $x = - a$ ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 $y = x^{2} + 2 a x + a - 3$ ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

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a	…	$- 4$	$- 2$	0	2	4	…
x	…	*	2	0	$- 2$	$- 4$	…
y的最小值	…	*	$- 9$	$- 3$	$- 5$	$- 15$	…