二次函数中最值问题的存在性问题—中考数学复习专项

试卷日期:2025-03-16 考试类型:二轮复习

一、填空题

  • 1. 如图,已知抛物线y=x2+Px+q的对称轴为直线x=-2,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(-1,-1).若在y轴上存在一点P,使得PM+PN最小,则点P的坐标为.

  • 2. 对某一个函数给出如下定义:若存在实数 m>0 ,对于任意的函数值 y ,都满足 mym ,则称这个函数是有界函数 , 在所有满足条件的 m 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.将函数 y=x2+1(2xtt0) 的图象向上平移 t 个单位,得到的函数的边界值 n 满足是 94n52 时,则 t 的取值范围是.

二、解答题

  • 3. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,点A,B在x轴上,抛物线y=x2+bx+c经过点B,D4,5两点,且与直线DC交于一点E.

    (1)、求抛物线的解析式;
    (2)、若点P为y轴上一点,探究EP+PB是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点P的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)、若点F为抛物线对称轴上一点,点Q为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点Q,F,E,B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
  • 4.  已知抛物线y=ax2+bx+c(abca>0)的顶点为P , 且2a+b=0 , 对称轴与x轴相交于点D , 点M(m,1)在抛物线上,m>1O为坐标原点.
    (1)、当a=1c=1时,求该抛物线顶点P的坐标;
    (2)、当OM=OP=132时,求a的值;
    (3)、若N是抛物线上的点,且点N在第四象限,MDN=90°DM=DN , 点E在线段MN上,点F在线段DN上,NE+NF=2DM , 当DE+MF取得最小值为15时,求a的值.
  • 5. 已知y是关于x的函数,若其函数图象经过点P(t,t),则称点P为函数图象上的“和谐点”.

    (1)求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标;

    (2)若抛物线y=﹣12x2+(23a+1)x﹣a+1上有“和谐点”,且“和谐点”为A(x1 , y1)和B(x2 , y2),求W=x12+x22的最小值;

    (3)若函数y=14x2+(m﹣t+1)x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时,n的最小值为t,求t的值.

  • 6.

    已知:二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.

    (1)请直接写出点A、点B的坐标.

    (2)请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.

    (3)如图1,在二次函数对称轴上是否存在点P,使△APC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    (4)如图2,连接AC、BC,点Q是线段0B上一个动点(点Q不与点0、B重合).过点Q作QD∥AC交BC于点D,设Q点坐标(m,0),当△CDQ面积S最大时,求m的值.

  • 7.

    如图1.已知抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴分别交于A,B两点,与y轴交于点C,A点坐标为(﹣2,0),B的坐标为(4,0).直线l过B,C两点.点P是线段BC上的一个动点(点P不与B,C两点重合).在点P运动过程中,始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动,该直线与抛物线的交点为M,与x轴的交点为N.

    (1)①求出抛物线的函数表达式;②直接写出直线l的函数表达式;

    (2)若直线MN把△OBC的面积分成1:3的两部分,求出此时点P的坐标.

    (3)如图2,①连接BM,CM,设△MBC的面积是S,在点P的运动过程中,S是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

    ②当△MBC的面积最大时,直线MN上另有一动点E,在坐标平面内是否存在点F,使以点A,P,E,F为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由

  • 8. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M.

    (1)求此抛物线的解析式和对称轴;

    (2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

    (3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

  • 9. 对于某一函数给出如下定义:如果存在实数p , 当其自变量的值为p时,其函数值等于p , 则称p为这个函数的不动值,在函数存在不动值时,该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度,特别地,当函数只有一个不动值时,其不动长度q为0,例如,下图中的函数有0和1两个不动值,其不动长度q为1.

    (1)、下列函数①y=2x , ②yx2+1,③yx2﹣2x中存在不动值的是 (填序号)
    (2)、函数y=3x2+bx

    ①若其不动长度为0,则b的值为

    ②若﹣2≤b≤2,求其不动长度q的取值范围;

    (3)、记函数yx2﹣4xxt)的图象为G1 , 将G1沿xt翻折后得到的函数图象记为G2 , 函数G的图象由G1G2两部分组成,若其不动长度q满足0≤q≤5,则t的取值范围为
  • 10. 如图, ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,A,C分别是一次函数 y=x+3 的图象与y轴,x轴的交点,点B在二次函数 y=x2+bx+c 的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形 ABCD 能构成平行四边形.

    (1)、求该二次函数的表达式;
    (2)、动点P在线段 AD 上从点A至点D运动,同时动点Q在线段 AC 上从点C到点A运动,两点都是以每秒1个单位长度的速度运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止.

    ①当 APQ 是直角三角形时,求P的坐标;

    ②四边形 PDCQ 的面积是否有最小值?若有,求出面积的最小值和点P的坐标;若没有,请说明理由.

  • 11. 如图,在平而直角坐标系中,二次函数y=3x2+23x的图象与x轴分别交于点OA , 顶点为B . 连接OBAB , 将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC , 连接BC . 点DE分别在线段OBBC上,连接ADDEEADEAB交于点FDEA=60°

    (1)、求点AB的坐标;
    (2)、随着点E线段BC上运动.

    EDA的大小是否发生变化?请说明理由;

    ②线段BF的长度是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由;

    (3)、当线段DE的中点在该二次函数的因象的对称轴上时,BDE的面积为.
  • 12. 如图所示,抛物线y=2x24x-6x轴相交于AB两点,与y轴相交于点C , 点M为抛物线的顶点.在抛物线的对称轴上是否存在一点P , 使得PA+PC的值最小,若存在,清求出点P的坐标并求出最小值;若不存在,请说明理由.

  • 13. 对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足y≤M,那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,图中的函数y=(x3)2+2是有上界函数,其上确界是2.

    (1)、函数①y=x2+2x+1和②y=2x3(x2)中是有上界函数的为(只填序号即可),其上确界为
    (2)、如果函数y=x+2(axbb>a)的上确界是b,且这个函数的最小值不超过2a+1 , 求a的取值范围;
    (3)、如果函数y=x22ax+2(1x5)是以3为上确界的有上界函数,求实数a的值.
  • 14. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(2,0),B(﹣4,0)两点.

    (Ⅰ)求抛物线的解析式;

    (Ⅱ)若抛物线交y轴于点C,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;

    (Ⅲ)在抛物线第二象限的图象上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,请直接写出点P的坐标和△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由.

三、实践探究题

  • 15. 课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a3的最值问题展开探究.

    【经典回顾】二次函数求最值的方法.

    (1)老师给出a=4 , 求二次函数y=x2+2ax+a3的最小值.

    ①请你写出对应的函数解析式;

    ②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值;

    【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表:

    a

    4

    2

    0

    2

    4

    x

    *

    2

    0

    2

    4

    y的最小值

    *

    9

    3

    5

    15

    注:*为②的计算结果.

    【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”

    甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取x=a , 就能得到y的最小值.”

    乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”

    (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a3 , 解释甲同学的说法是否合理?

    (3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.