二次函数中面积的存在性问题—中考数学复习专项

试卷日期:2025-03-16 考试类型:二轮复习

一、选择题

  • 1. 如图,在菱形ABCD中,对角线ACBD相交于点O,E,F分别是边ADCD上的点(不与A,D,C重合),其中DE=DF , 过点E,F分别作BD的平行线交ABBC于G,H两点,顺次连接E,F,H,G四点.甲,乙,丙三位同学给出了三个结论:

    甲:随着DE长度的变化,可能存在EG=FH=12BD

    乙:随着DE长度的变化,四边形EFHG的面积存在最大值,不存在最小值;

    丙:当四边形EFHG的面积是菱形ABCD的面积的一半时,四边形EFHG一定是正方形.下列说法正确的是( )

     

    A、甲,乙,丙都对 B、甲,丙对,乙不对 C、甲,乙对,丙不对 D、甲不对,乙,丙对

二、填空题

三、解答题

  • 2. 如图,已知二次函数y=x2+bx+c过点A(1,0),C(0,﹣3)

    (1)求此二次函数的解析式;

    (2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.

  • 3.

    如图,抛物线y=12x2+x﹣32与x轴相交于A、B两点,顶点为P.

    (1)求点A、B的坐标;

    (2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积?若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;

    (3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标.

  • 4. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=23x223x﹣4与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.

    (1)求点A,B,C的坐标;

    (2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动,同时,点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设运动时间为t秒,求运动时间t为多少秒时,△PBQ的面积S最大,并求出其最大面积;

    (3)在(2)的条件下,当△PBQ面积最大时,在BC下方的抛物线上是否存在点M,使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.

  • 5.

    如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.

    (1)求该抛物线的解析式;

    (2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;

    (3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.

  • 6.

    如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,抛物线y=x2的顶点在直线AO上运动,与直线x=2交于点P,设平移后的抛物线顶点M的横坐标为m.

    (1)如图1,若m=﹣1,求点P的坐标;

    (2)在抛物线平移的过程中,当△PMA是等腰三角形时,求m的值;

    (3)如图2,当线段BP最短时,相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA的面积与△PMA的面积相等?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

     

  • 7. 下图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,-4)

    (1)求出图象与x轴的交点AB的坐标;

    (2)在二次函数的图象上是否存在点P , 使SPAB=54SMAB?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由;

    (3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围.

  • 8.

    如图,在平面直角坐标系中,△CDE的顶点C点坐标为C(1,﹣2),点D的横坐标为195 , 将△CDE绕点C旋转到△CBO,点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A.

    (1)图中,∠OCE等于多少;

    (2)求抛物线的解析式;

    (3)抛物线上是否存在点P,使S△PAE=12S△CDE?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

  • 9.

    如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=-2x2+mx+n的图象经过A,C两点.

    (1)求此抛物线的函数表达式;
    (2)求证:∠BEF=∠AOE;
    (3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
    (4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的(22+1)倍.若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.

  • 10. 如图

    如图(1),在平面直角坐标系中,直线 y=12x+4 与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数 y=14x2+bx+c 的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.

    (1)、求二次函数的表达式;
    (2)、如图(2),点D是抛物线第四象限上的一动点,连接 DCDB ,当 SDCB=SABC 时,求点D坐标;
    (3)、如图(3),在(2)的条件下,点Q在 CA 的延长线上,连接 DQAD ,过点Q作 QP//y 轴,交抛物线于P, AQD=ACO+ADC ,请求出 PQ 的长.
  • 11.

    如图,在直角坐标系中,O为原点.点A在x轴的正半轴上,点B在y轴的正半轴上,tan∠OAB=2.二次函数y=x2+mx+2的图象经过点A,B,顶点为D.

    (1)、求这个二次函数的解析式;

    (2)、将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置.将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式;

    (3)、设(2)中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1 , 顶点为D1 . 点P在平移后的二次函数图象上,且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍,求点P的坐标.

  • 12. 如图(1),二次函数y=ax25x+c的图像与x轴交于A(40)B(b0)两点,与y轴交于点C(04)

      

    (1)、求二次函数的解析式和b的值.
    (2)、在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M , 使SBOM=13SABC?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    (3)、如图(2),作点A关于原点O的对称点E , 连接CE , 作以CE为直径的圆.点E'是圆在x轴上方圆弧上的动点(点E'不与圆弧的端点E重合,但与圆弧的另一个端点可以重合),平移线段AE , 使点E移动到点E' , 线段AE的对应线段为A'E' , 连接E'CA'AA'A的延长线交直线E'C于点N , 求AA'CN的值.
  • 13. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2+bx+4与x轴交于A(﹣2,0),B两点,与y轴交于点C , 对称轴为x=1.

    (1)、求抛物线的函数表达式;
    (2)、如图1,连接BC , 点D在直线BC上方的抛物线上,过点DBC的垂线交BC于点E , 作y轴的平行线交BC于点F . 若CE=3EF , 求线段DF的长;
    (3)、直线y=﹣x+mm<4)与抛物线交于PQ两点(点P在点Q左侧),直线PC与直线BQ的交点为S , △OCS的面积是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

四、实践探究题