二次函数中相似三角形的存在性问题—中考数学复习专项

试卷日期：2025-03-16 考试类型：二轮复习

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一、填空题

二、解答题

1. 如图，直线 $y = - \frac{4}{3} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{8}{3} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A$ ， $B$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标和抛物线的解析式；

(2)、 $M (m, 0)$ 为线段 $O A$ 上的动点（不与点O．A重合），过点 $M$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与直线 $A B$ 及抛物线分别交于点 $P$ ， $N$ .
①用含m的代数式表示线段PN的长；
②若以 $B$ ， $P$ ， $N$ 为顶点的三角形与 $△ A P M$ 相似，求点 $M$ 的坐标．

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2.
已知，如图，过点E(0，-1)作平行于轴的直线 $l$ ，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 上的两点A、B的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF，DF．

（1）求点A，B，F的坐标；
（2）求证： $C F ⊥ D F$ ；
（3）点 $P$ 是抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 对称轴右侧图象上的一动点，过点P作 $P Q ⊥ P O$ 交X轴于点Q，是否存在点P使得 $△ O P Q$ 与 $△ C D F$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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3. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + c (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3, 0) 、 B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，抛物线的顶点为 $M$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求 $\tan ∠ M A C$ 的值；

(3)、若点 $P$ 是线段 $A C$ 上一个动点，联结 $O P$ ，是否存在点 $P$ ，使得以点O、C、P为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似？若存在，求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由；

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4. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A和 $B (3, 0)$ 两点，与y轴交于 $C (0, - 2)$ ，对称轴为直线 $x = \frac{5}{4}$ ，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，

(1)、求抛物线与直线BC的函数解析式；

(2)、设点M的坐标为 $(m, 0)$ ，求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值：

(3)、若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得 $△ C P N$ 与 $△ B P M$ 相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由．

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5. 如图，已知直线 $y = - 2 x + 4$ 分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段 $A B$ 上一动点，过点P作 $P C ⊥ x$ 轴于点C，交抛物线于点D．

(1)、若抛物线的解析式为 $y = - 2 x^{2} + 2 x + 4$ ，设其顶点为M，其对称轴交 $A B$ 于点N．
①求点M和点N的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点Q，使 $| A Q - B Q |$ 的值最大，请直接写出点Q的坐标；
③是否存在点P，使四边形 $M N P D$ 为菱形？并说明理由；

(2)、当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与 $△ A O B$ 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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6. 如图，在矩形 $O A B C$ 中， $A O = 10$ ， $A B = 8$ ，沿直线 $C D$ 折叠矩形 $O A B C$ 的一边 $B C$ ．使点 $B$ 落在 $O A$ 边上的点 $E$ 处．分别以 $O C ， O A$ 所在的直线为 $x$ 轴， $y$ 轴建立平面直角坐标系，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $O$ ， $D$ ， $C$ 三点．

(1)、求 $A D$ 的长及拋物线的解析式；

(2)、一动点 $P$ 从点 $E$ 出发，沿 $E C$ 以每秒 $2$ 个单位长的速度向点 $C$ 运动，同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $CO$ 以每秒 $1$ 个单位长的速度向点 $O$ 运动，当点 $P$ 运动到点 $C$ 时，两点同时停止运动．设运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时，以 $P 、 Q 、 C$ 为顶点的三角形与 $△ A D E$ 相似？

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7. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 8$ 与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点 $C^{'}$ 与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使 $△ P C C^{'}$ 与 $△ P O B$ 相似且 $P C$ 与 $P O$ 是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - \frac{3}{2} x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点 $C (0, - 2)$ ， $\tan ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ．直线 $x = 1$ 交 $B C$ 于点D，点P是直线 $B C$ 下方抛物线上一动点，连接 $P D$ ．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接 $P C$ ，求 $△ P C D$ 面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接 $A C$ ，过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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9. 将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(﹣6，0)，点B(0，2)，点C(﹣4，8)，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D.

(1)、求该二次函数的表达式及点D的坐标；

(2)、点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开.
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

②连接MP，NP，在下列选项中：A.折痕与AB垂直，B.折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C. $\frac{M N}{M P}$ ＝ $\frac{3}{2}$ ，D. $\frac{M N}{M P}$ ＝ $\sqrt{2}$ ，所有正确选项的序号是 .

③点Q在二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象上，当 $△$ PDQ∼ $△$ PMN时，求点Q的坐标.

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10. 综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + 4$ 与x轴交于点 $A (- 4, 0)$ ，与y轴交于点C，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．

(1)、求k的值及抛物线的解析式．

(2)、如图1，若点D为直线 $A C$ 上方抛物线上一动点，当 $∠ A C D = 2 ∠ B A C$ 时，求D点的坐标；

(3)、如图2，若 $F$ 是线段 $O A$ 的上一个动点，过点 $F$ 作直线 $E F$ 垂直于 $x$ 轴交直线 $A C$ 和抛物线分别于点 $G$ 、 $E$ ，连接 $C E$ ．设点 $F$ 的横坐标为 $m$ ．
①当 $m$ 为何值时，线段 $E G$ 有最大值，并写出最大值为多少；
②是否存在以 $C$ ， $G$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $△ A F G$ 相似，若存在，直接写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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