二次函数中相似三角形的存在性问题—中考数学复习专项
试卷日期:2025-03-16 考试类型:二轮复习
一、填空题
二、解答题
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1. 如图,直线与轴交于点 , 与轴交于点 , 抛物线经过点 , .(1)、求点的坐标和抛物线的解析式;(2)、为线段上的动点(不与点O.A重合),过点作垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点 , .
①用含m的代数式表示线段PN的长;
②若以 , , 为顶点的三角形与相似,求点的坐标.
2.已知,如图,过点E(0,-1)作平行于
轴的直线 , 抛物线上的两点A、B的横坐标分别为
1和4,直线AB交y轴于点F,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF,DF.
(1)求点A,B,F的坐标;
(2)求证:;
(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点,过点P作交X轴于点Q,是否存在点P使得与相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.3. 如图,抛物线与轴交于两点(在的左侧),与轴交于点 , 抛物线的顶点为 .(1)、求抛物线的表达式;(2)、求的值;(3)、若点是线段上一个动点,联结 , 是否存在点 , 使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由;4. 如图,已知二次函数的图象与x轴交于A和两点,与y轴交于 , 对称轴为直线 , 连接BC,在直线BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N,交x轴于点M,(1)、求抛物线与直线BC的函数解析式;(2)、设点M的坐标为 , 求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值:(3)、若点P在线段BC上运动,则是否存在这样的点P,使得与相似,若存在请直接写出点P的坐标,若不存在,请写出理由.5. 如图,已知直线分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段上一动点,过点P作轴于点C,交抛物线于点D.(1)、若抛物线的解析式为 , 设其顶点为M,其对称轴交于点N.①求点M和点N的坐标;
②在抛物线的对称轴上找一点Q,使的值最大,请直接写出点Q的坐标;
③是否存在点P,使四边形为菱形?并说明理由;
(2)、当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.6. 如图,在矩形中, , , 沿直线折叠矩形的一边 . 使点落在边上的点处.分别以所在的直线为轴,轴建立平面直角坐标系,抛物线经过 , , 三点.(1)、求的长及拋物线的解析式;(2)、一动点从点出发,沿以每秒个单位长的速度向点运动,同时动点从点出发,沿以每秒个单位长的速度向点运动,当点运动到点时,两点同时停止运动.设运动时间为秒,当为何值时,以为顶点的三角形与相似?7. 已知抛物线与x轴交于点A、B(其中A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点B、C的坐标;
(2)设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P,使与相似且与是对应边?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
8. 如图,抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点 , . 直线交于点D,点P是直线下方抛物线上一动点,连接 .(1)求此抛物线的解析式;
(2)如图1,连接 , 求面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,连接 , 过点P作于点E,是否存在点P使以P,D,E三点为顶点的三角形与相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9. 将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中,点A(﹣6,0),点B(0,2),点C(﹣4,8),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A,B,该抛物线的对称轴经过点C,顶点为D.(1)、求该二次函数的表达式及点D的坐标;(2)、点M在边AC上(异于点A,C),将三角形纸片ABC折叠,使得点A落在直线AB上,且点M落在边BC上,点M的对应点记为点N,折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P,然后将纸片展开.①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
②连接MP,NP,在下列选项中:A.折痕与AB垂直,B.折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上,C. = ,D. = ,所有正确选项的序号是 .
③点Q在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,当 PDQ∼ PMN时,求点Q的坐标.
10. 综合与探究:如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点 , 与y轴交于点C,抛物线经过A,C两点且与x轴的正半轴交于点B.
(1)、求k的值及抛物线的解析式.(2)、如图1,若点D为直线上方抛物线上一动点,当时,求D点的坐标;(3)、如图2,若是线段的上一个动点,过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、 , 连接 . 设点的横坐标为 .①当为何值时,线段有最大值,并写出最大值为多少;
②是否存在以 , , 为顶点的三角形与相似,若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.