二次函数中相似三角形的存在性问题—中考数学复习专项

试卷日期:2025-03-16 考试类型:二轮复习

一、填空题

二、解答题

  • 1. 如图,直线y=43x+cx轴交于点A(3,0) , 与y轴交于点B , 抛物线y=83x2+bx+c经过点AB

    (1)、求点B的坐标和抛物线的解析式;
    (2)、M(m,0)为线段OA上的动点(不与点O.A重合),过点M作垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点PN.

    ①用含m的代数式表示线段PN的长;

    ②若以BPN为顶点的三角形与APM相似,求点M的坐标.

  • 2.

    已知,如图,过点E(0,-1)作平行于轴的直线l , 抛物线y=14x2上的两点A、B的横坐标分别为1和4,直线AB交y轴于点F,过点A、B分别作直线l的垂线,垂足分别为点C、D,连接CF,DF.

    (1)求点A,B,F的坐标;
    (2)求证:CFDF
    (3)点P是抛物线y=14x2对称轴右侧图象上的一动点,过点P作PQPO交X轴于点Q,是否存在点P使得OPQCDF相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

  • 3. 如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)x轴交于A(3,0) B两点(AB的左侧),与y轴交于点C(0,3) , 抛物线的顶点为M

       

    (1)、求抛物线的表达式;
    (2)、求tanMAC的值;
    (3)、若点P是线段AC上一个动点,联结OP , 是否存在点P , 使得以点O、C、P为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
  • 4. 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B3,0两点,与y轴交于C0,2 , 对称轴为直线x=54 , 连接BC,在直线BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N,交x轴于点M,

    (1)、求抛物线与直线BC的函数解析式;
    (2)、设点M的坐标为m,0 , 求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值:
    (3)、若点P在线段BC上运动,则是否存在这样的点P,使得CPNBPM相似,若存在请直接写出点P的坐标,若不存在,请写出理由.
  • 5. 如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PCx轴于点C,交抛物线于点D.

    (1)、若抛物线的解析式为y=2x2+2x+4 , 设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.

    ①求点M和点N的坐标;

    ②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ-BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标;

    ③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;

    (2)、当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
  • 6. 如图,在矩形OABC中,AO=10AB=8 , 沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC . 使点B落在OA边上的点E处.分别以OCOA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过ODC三点.

    (1)、求AD的长及拋物线的解析式;
    (2)、一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以PQC为顶点的三角形与ADE相似?
  • 7. 已知抛物线y=x2+2x+8与x轴交于点A、B(其中A在点B的左侧),与y轴交于点C.

    (1)求点B、C的坐标;

    (2)设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P,使PCC'POB相似且PCPO是对应边?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

  • 8. 如图,抛物线y=ax232x+c(a0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C(0,2)tanABC=12 . 直线x=1BC于点D,点P是直线BC下方抛物线上一动点,连接PD

                  

    (1)求此抛物线的解析式;

    (2)如图1,连接PC , 求PCD面积的最大值及此时点P的坐标;

    (3)如图2,连接AC , 过点P作PEBC于点E,是否存在点P使以P,D,E三点为顶点的三角形与ABC相似,若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

  • 9. 将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中,点A(﹣6,0),点B(0,2),点C(﹣4,8),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A,B,该抛物线的对称轴经过点C,顶点为D.

    (1)、求该二次函数的表达式及点D的坐标;
    (2)、点M在边AC上(异于点A,C),将三角形纸片ABC折叠,使得点A落在直线AB上,且点M落在边BC上,点M的对应点记为点N,折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P,然后将纸片展开.

    ①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

    ②连接MP,NP,在下列选项中:A.折痕与AB垂直,B.折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上,C. MNMP32 ,D. MNMP2 ,所有正确选项的序号是          .

    ③点Q在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,当 PDQ∼ PMN时,求点Q的坐标.

  • 10. 综合与探究:

    如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+4与x轴交于点A(4,0) , 与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点且与x轴的正半轴交于点B.

       

    (1)、求k的值及抛物线的解析式.
    (2)、如图1,若点D为直线AC上方抛物线上一动点,当ACD=2BAC时,求D点的坐标;
    (3)、如图2,若F是线段OA的上一个动点,过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点GE , 连接CE . 设点F的横坐标为m

    ①当m为何值时,线段EG有最大值,并写出最大值为多少;

    ②是否存在以CGE为顶点的三角形与AFG相似,若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.