猪蹄模型—北师大版数学七下解题模型专项训练

试卷日期：2025-03-15 考试类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，已知直线l₁//l₂ ，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　）

A、39° B、45° C、50° D、51°

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2. 如图，直线 $A B ∥ C D$ ， $∠ C = 44 °$ ， $∠ E$ 为直角，则 $∠ 1$ 的度数为（）．

A、 $132 °$ B、 $134 °$ C、 $136 °$ D、 $138 °$

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3. 如图， $A B ∥ C D ， P$ 为 $A B ， C D$ 之间的一点，已知 $∠ 1 = 35^{\circ} ， ∠ 2 = 25^{\circ}$ ，则 $∠ B P C$ 的度数为（）

A、 $50^{\circ}$
B、 $60^{\circ}$
C、 $70^{\circ}$
D、 $80^{\circ}$

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4. ①如图 1 所示， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ A + ∠ E + ∠ C = 180^{\circ}$ ； ②如图 2 所示， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ E = ∠ A + ∠ C$ ； ③如图 3 所示， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ A + ∠ E - ∠ 1 = 180^{\circ}$ ； ④如图 4 所示， $A B ∥ C D$ ，则 $∠ A = ∠ C + ∠ P$ ．以上结论正确的个数是（）

A、1 个
B、2 个
C、3 个 D、4个

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二、填空题

5. 如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线 $A B ∥ E D$ ，根据点 $C$ 在 $A B$ 与 $E D$ 之内和之外的不同位置， $∠ B$ ， $∠ C$ ， $∠ D$ 三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中 $∠ B$ ， $∠ C$ ， $∠ D$ 三个角之间的数量关系：① ． ② ． ③ ． ④ ．

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6. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E, F$ 分别在 $A B, C D$ 上，点 $G, H$ 在两条平行线 $A B, C D$ 之间， $∠ A E G$ 与 $∠ F H G$ 的平分线交于点 $M$ ．若 $∠ E G H = 84 °$ ， $∠ H F D = 20 °$ ，则 $∠ M$ ＝．

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三、解答题

7. 已知，直线 $A B ∥ C D$ ．

(1)、如图1，点E在 $A B$ 、 $C D$ 之间， $∠ B A E$ 的平分线交 $C E$ 的延长线于点F ， $∠ D C E$ 的平分线交 $A E$ 的延长线于点G ，试探究 $∠ F$ ， $∠ G$ 和 $∠ A E C$ 这三个角之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，点E在直线 $A B$ 的上方， $∠ E A B$ ， $∠ E C D$ 的平分线交于点F ，若 $∠ E - ∠ F = 25 °$ ，求 $∠ E C D - ∠ E A B$ 的值．

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8. 阅读理解：如图1，已知点A是 $B C$ 外一点，连接 $A B$ ， $A C$ ．求 $∠ B A C + ∠ B + ∠ C$ 的度数．

(1)、阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作 $E D ∥ B C$ ， ∴ $∠ B =$ ， $∠ C = ∠ D A C$ ．
∵ $∠ E A B + ∠ B A C +$ $= 180 °$ ．
∴ $∠ B + ∠ B A C + ∠ C = 180 °$ ．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 $∠ B A C ， ∠ B ， ∠ C$ “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

(2)、方法运用：如图2，已知 $A B ∥ E D$ ，求 $∠ B + ∠ B C D + ∠ D$ 的度数．

(3)、深化拓展：如图3，已知 $A B ∥ C D$ ，点C在点D的右侧， $∠ A D C = 60 °$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，点B是直线 $A B$ 上的一个动点（不与点A重合）， $A B ＜ C D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $B E$ ， $D E$ 所在的直线交于点E ，点E在 $A B$ 与 $C D$ 两条平行线之间．若 $∠ A B C = n °$ ，请你求出 $∠ B E D$ 的度数．（用含n的代数式表示）

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9. （1）如图①，如果 $A B ∥ C D$ ，求证： $∠ A P C = ∠ A + ∠ C$ ．
（2）如图②， $A B ∥ C D$ ，根据上面的推理方法，直接写出 $∠ A + ∠ P + ∠ Q + ∠ C =$ ___________．
（3）如图③， $A B ∥ C D$ ，若 $∠ A B P = x ， ∠ B P Q = y ， ∠ P Q C = z ， ∠ Q C D = m$ ，则 $m =$ ___________（用x、y、z表示）．

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10. 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．

(1)、如图①， $A B ∥ C D$ ， $E$ 为 $A B$ ， $C D$ 之间一点，连接 $B E$ ， $D E$ ，得到 $∠ B E D$ ．试探究 $∠ B E D$ 与 $∠ B$ 、 $∠ D$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2)、请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
①如图②， $A B ∥ C D$ ，线段 $A D$ 与线段 $B C$ 相交于点 $E$ ， $∠ B A D = 36 °$ ， $∠ B C D = 80 °$ ， $E F$ 平分 $∠ B E D$ 交直线 $A B$ 于点 $F$ ，求 $∠ B E F$ 的度数．

②如图③， $A B ∥ C D$ ，线段 $A D$ 与线段 $B C$ 相交于点 $E$ ， $∠ B A D = 36 °$ ， $∠ B C D = 80 °$ ，过点 $D$ 作 $D G ∥ C B$ 交直线 $A B$ 于点 $G$ ， $A H$ 平分 $∠ B A D$ ， $D H$ 平分 $∠ C D G$ ，直接写出 $∠ A H D$ 的度数．

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11. 请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即

已知：如图1， $A B / / C D$ ， $E$ 为 $A B$ 、 $C D$ 之间一点，连接 $A E$ ， $C E$ 得到 $∠ A E C$ .

求证： $∠ A E C = ∠ A + ∠ C$

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点 $E$ 作 $E F / / A B$ ，

∴ $∠ 1 = ∠ B$

∵ $A B / / C D$ ， $E F / / A B$

∴ $E F / / C D$

∴ $∠ 2 = ∠ C$ .

∵ $∠ A E C = ∠ 1 + ∠ 2$

∴ $∠ A E C = ∠ A + ∠ C$

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)、如图，若 $A B / / C D$ ， $∠ E = 60 °$ ，则 $∠ B + ∠ C + ∠ F =$ .

(2)、如图， $A B / / C D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B G$ ， $C F$ 平分 $∠ D C G$ ， $∠ G = ∠ H + 27 °$ ，则 $∠ H =$ .

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四、阅读理解题

12. 【阅读探究】如图 $1$ ，已知 $A B / / C D$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $C D$ 上的点，点 $M$ 在 $A B$ 、 $C D$ 两平行线之间， $∠ A E M = 45 °$ ， $∠ C F M = 25 °$ ，求 $∠ E M F$ 的度数．

解：过点 $M$ 作 $M N / / A B$ ，
因为 $A B / / C D$ ，
所以 $M N / / C D$ ，
所以 $∠ E M N = ∠ A E M = 45 °$ ，
$∠ F M N = ∠ C F M = 25 °$ ，
所以 $∠ E M F = ∠ E M N + ∠ F M N = 45 ° + 25 ° = 70 °$ ，
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 $∠ A E M$ 和 $∠ C F M$ “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】如图 $2$ ，已知直线 $m / / n$ ， $A B$ 是一个平面镜，光线从直线 $m$ 上的点 $O$ 射出，在平面镜 $A B$ 上经点 $P$ 反射后，到达直线 $n$ 上的点 $Q .$ 我们称 $O P$ 为入射光线， $P Q$ 为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即 $∠ O P A = ∠ Q P B$ ．

(1)、由图 $2$ 写出 $∠ A O P$ 、 $∠ B Q P$ 、 $∠ O P Q$ 之间的数量关系，并说明理由．

(2)、如图 $3$ ，再放置 $3$ 块平面镜，其中两块平面镜在直线 $m$ 和 $n$ 上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形 $A B C D$ ，光线从点 $O$ 以适当的角度射出后，其传播路径为 $O \to P \to Q \to R \to O \to P \to \dots$ 直接写出 $∠ O P Q$ 和 $∠ O R Q$ 的数量关系．

(3)、【应用拓展】
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图 $4$ 所示的样子，并提出了一个问题：
在图 $4$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ B = 125 °$ ， $∠ P Q C = 65 °$ ， $∠ C = 145 °$ ，求 $∠ B P Q$ 的度数．

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