反比例函数的两点和原点模型—中考数学解题模型精炼

试卷日期：2025-03-15 考试类型：二轮复习

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一、基础模型

1. 如图所示，在以O为原点的平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0)的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k的值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{27}{4}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、12

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2. 如图，A是双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上的一点，点C是 $O A$ 的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，且 $△ A B D$ 的面积是4，则 $k =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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3. 如图，已知点 $P （ 6 ， 3 ）$ ，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴于点M ， $P N ⊥ y$ 轴于点N ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交 $P M$ 于点A ，交 $P N$ 于点B ．若四边形 $O A P B$ 的面积为12，则k的值为（）

A、6 B、 $- 6$ C、12 D、 $- 1$

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4. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形 $O A B C$ 是边长为3的正方形，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像与 $B C ， A B$ 边分别交于 $E ， D$ 两点， $△ D O E$ 的面积为4，点P为y轴上一点，则 $P D + P E$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、5

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5. 如图， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别是反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ k > 2 ）$ 和 $y = \frac{2}{x}$ 在第一象限内的图象，点 $A$ 和点 $D$ 在 $l_{1}$ 上，线段 $O A$ 交 $l_{2}$ 于点 $B$ ，线段 $O D$ 交 $l_{2}$ 于点 $C .$ 下列结论中正确的为（）

A、 $S_{△ B O C} = \frac{1}{k - 2} S_{四边形 A B C D}$ B、 $\frac{B C}{A D} = \frac{2}{k}$ C、 $B$ 为 $A O$ 中点 D、 $B C / / A D$

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6. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像分别交正方形 $O A B C$ 的边 $A B 、 B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，若 $A$ 点坐标为 $(1 ， 0)$ ，若 $△ O D E$ 是等边三角形，求 $k$ 的值.

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7. 如图，点C在反比例函数y $= \frac{1}{x}$ 的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y $= \frac{3}{x}$ 的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y $= \frac{3}{x}$ 的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积.

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8. 如图，直线 $y = - x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 在第一条限内交于 $A$ ， $B$ 两点， $x$ 轴上的点 $C$ 满足 $B C = O B$ ．

(1)、若点 $A$ 坐标为 $(4 ， 1)$ ，求点 $B$ 的坐标；

(2)、若 $△ O B C$ 的面积为 $\frac{k^{2}}{2}$ ，求实数 $k$ 的值；

(3)、设点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，求 $x_{1} - y_{2}$ 的值．

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9. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $O A B C$ 的边 $O A$ 在 $x$ 轴上， $O C$ 在 $y$ 轴上， $O A = 4$ ， $O C = 2$ （不与 $B$ ， $C$ 重合），反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0, x ＞ 0)$ 的图像经过点 $D$ ，且与 $A B$ 交于点 $E$ ，连接 $O D$ ， $O E$ ， $D E$ ．

(1)、若点 $D$ 的横坐标为 $1$ ．
①求 $k$ 的值；②点 $P$ 在 $x$ 轴上，当 $△ O D E$ 的面积等于 $△ O D P$ 的面积时，试求点 $P$ 的坐标；

(2)、延长 $E D$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $A C$ ，判断四边形 $A E F C$ 的形状

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10. 如图，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，且点 $A$ 、 $B$ 的横坐标分别为 $a$ ， $2 a$ $(a > 0)$ ．过点 $A$ 作 $A C ⊥ x$ 轴，垂足为 $C$ ，且 $△ A O C$ 的面积为 $2$ ．

(1)、求该反比例函数的解析式；

(2)、若 $a = 5$ ，设直线 $A B$ 的解析式为 $y_{1} = m x + b$ ，当 $x$ 满足什么条件， $y < y_{1}$ ？

(3)、求 $△ A O B$ 的面积．

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11. 如图，点 $A (3, 6)$ ， $B (6, a)$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上的两点，连接 $O A$ 、 $O B$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、若点 $C$ 的坐标为 $(9, 0)$ ，点 $P$ 是反比例函数图象上的点，若 $△ P O C$ 的面积等于 $△ A O B$ 面积的3倍，求点 $P$ 的坐标．

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12. 反比例函数 $y = \frac{m - 2}{x}$ 的图象的一支位于第一象限.

(1)、判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 $m$ 的取值范围；

(2)、如图，若直线 $A B$ 与该函数图象交于 $A (6 ， 1)$ 、 $B$ 两点，求此反比例函数的解析式；

(3)、在（2）的条件下， $△ A O B$ 的面积为8，动点 $P$ 在 $y$ 轴上运动，当线段 $P A$ 与 $P B$ 之差最大时，求点 $P$ 坐标.

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二、拓展模型

13. 如图， Rt $△ A B O$ 的顶点 $A$ 是函数 $y = \frac{k}{x}$ 与 $y = - x + k + 1$ 的图象在第四象限内的交点， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，且 $S_{△ A B O} = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求这两个函数的表达式．

(2)、求这两个函数图象的两个交点 $A ， C$ 的坐标和 $△ A O C$ 的面积．

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14. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与直线y=−x−(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S_△ABO= $\frac{3}{2}$ 。

(1)、求这两个函数的解析式。

(2)、求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

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15. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = \frac{1}{2} x + k - 5$ 的图象相交于 $A$ ， $B$ 两点，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + k - 5$ 的图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $D$ ， $E$ 两点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，连接 $A O$ ， $B O$ ，且 $S_{△ A C O} = 2$ ．

(1)、直接写出 $k$ 的值以及 $A$ ， $B$ 的坐标；

(2)、根据图象直接写出：当 $\frac{k}{x} > \frac{1}{2} x + k - 5$ 时x的取值范围；

(3)、求 $△ O A B$ 的面积．

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三、直击中考

16. 如图，点 $P (m ， 1)$ ，点 $Q (- 2 ， n)$ 都在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接 $O P$ ， $O Q$ ， $P Q$ ．若四边形 $O M P N$ 的面积记作 $S_{1}$ ， $△ P O Q$ 的面积记作 $S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} ： S_{2} = 2 ： 3$ B、 $S_{1} ： S_{2} = 1 ： 1$ C、 $S_{1} ： S_{2} = 4 ： 3$ D、 $S_{1} ： S_{2} = 5 ： 3$

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17. 如图，直线l分别交x轴，y轴于A、B两点，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象于P、Q两点.若 $A B = 2 B P$ ，且 $△ A O B$ 的面积为4

(1)、求k的值；

(2)、当点P的横坐标为 $- 1$ 时，求 $△ P O Q$ 的面积.

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