反比例函数的一点两垂模型—中考数学解题模型精练

试卷日期：2025-03-15 考试类型：二轮复习

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一、基础模型

1. 如图，点 $P (x, y)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点P分别向x轴、y轴作垂线 $P B$ 、 $P A$ ，若矩形 $O A P B$ 的面积为6，则k的值为（　　）

A、12 B、 $- 12$ C、6 D、 $- 6$

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2. 如图，点A在函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图像上，点B在函数 $y = \frac{5}{x} (x > 0)$ 的图像上，且 $A B ∥ x$ 轴， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，则四边形 $A B C O$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $k > 0$ B、y随x的增大而减小 C、若矩形 $O A B C$ 的面积为2，则 $k = - 2$ D、若图象上点B的坐标是 $(- 2, 1)$ ，则当 $x < - 2$ 时，y的取值范围是 $y < 1$

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4. 如图，点M是反比例函数y＝ $\frac{a}{x}$ （a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S_阴影=8，则此反比例函数解析式为

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5. 如图，矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形，若D、E是CO边上的三等分点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 刚好经过小矩形的顶点F、G，若图中的阴影矩形面积 $S_{1} + S_{2} = 5$ ，则反比例系数k的值为．

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二、拓展模型

6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $C ， D$ 在 $x$ 轴上， $A D$ 与 $y$ 轴交于点 $E$ ，若 $S_{△ B C E} = 6$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{45}{4}$ B、 $- 6$ C、 $- 12$ D、12

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7. 如图， $A ， B$ 两点在双曲线 $y = \frac{4}{x}$ 上，分别经过点 $A ， B$ 向 $x ， y$ 轴作垂线段，已知 $S_{阴影} = 2$ ，则 $S_{1} +$ $S_{2} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 如图，在▱ABCD中， AB∥x轴，点B、D在反比例函数. $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，若▱ABCD的面积是8，则k的值是 ( )

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 如图，在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $（ x > 0 ）$ 的图象上有 $A ， B$ ， $C ， D$ 四点，它们的横坐标依次是 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，分别过这些点作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，图中构成的阴影部分的面积从左到布依次是 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ．则下列结论中正确的是（）

A、 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ B、 $S_{1} = 2 S_{2} - S_{3}$ C、 $S_{1} = 2 S_{2} + S_{3}$ D、 $S_{1} = 2 S_{2} + 2 S_{3}$

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10. 如图，在反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象上，有点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， …， $P_{n}$ ， …，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ， …， $S_{n}$ ， …，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdot \cdot \cdot + S_{2024}$ 的结果为．

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11. 知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上任意一点，则矩形ABOC的面积为|k|.

(1)、初步尝试
如图2，点A，E分别在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 和 $y = \frac{- 4}{x}$ 的图象上，四边形ABOC和EFOB都是矩形，易知四边形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积.

(2)、类比探究
如图3，点A，C在反比例函数 $y = \frac{a}{x} (a > 0)$ 的图象上，点B，D在反比例函数 $y = \frac{b}{x} (b < 0)$ 的图象上， $A B / / C D / / x$ 轴，AB与CD在 $x$ 轴的两侧， $A B = 3, C D = 2, A B$ 与CD的距离为5，求 $a - b$ 的值.
【分析】如图4，过A，B，C，D四点分别作 $A E 、 B F 、 C G 、 D H ⊥ x$ 轴于点E，F，G，H，设AB，CD分别与 $y$ 轴交于N，M，显然四边形ANOE，BNOF，CMOG，DMOH均为矩形，且 $S_{A N O E} + S_{B N O F} = S_{C M O G} + S_{D M O H} = a - b$ ，可设CG为 $h$ ，则 $B F = 5 - h$ ，从而可得： $2 h = 3 (5 - h), \dots \dots$ .
请根据上述思路，写出完整的解题步骤.

(3)、拓展延伸
如图5，已知反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 和 $y = \frac{n}{x}, m > n > 0$ ，若点B，C在 $y = \frac{m}{x}$ 图象上，点A，D在 $y = \frac{n}{x}$ 图象上，且 $A B / / C D / / x$ 轴， $A B = \frac{5}{3}, C D = \frac{5}{6}, A B$ 和CD间的距离为12，求 $m - n$ 的值.

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三、直击中考

12. 如图，点A在函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象上，点B在函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象上，且 $A B ∥ x$ 轴， $B C ⊥ x$ 轴于点C ，则四边形 $A B C O$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13. 如图，过 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象于B，D两点，以 $A B$ ， $A D$ 为邻边的矩形 $A B C D$ 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，若 $S_{2} + S_{3} + S_{4} = \frac{5}{2}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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14. 如图，在反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 的图象上有 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3} ， ⋯ P_{2024}$ 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， ⋯ ， S_{2023}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + ⋯ + S_{2023} =$ ．

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15. 如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y₁＝﹣ $\frac{2}{x}$ 的图象上，点B在第一象限y₂＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝ $\frac{3}{2}$ ，S_矩形_OCBE＝ $\frac{3}{2}$ S_矩形_ODAE.

(1)、求点B的坐标.

(2)、若点P在x轴上，S_△_BPE＝3，求直线BP的解析式.

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