反比例函数的一点一垂模型—中考数学解题模型精炼

试卷日期：2025-03-15 考试类型：二轮复习

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一、基础模型

1. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，且点 $A$ 的横坐标为 $a (a < 0) ， A B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ．若 $△ A O B$ 的面积是 3 ，则 $k$ 的值是( )

A、3 B、6 C、-3 D、-6

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2. 反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象如图所示， $A B ∥ y$ 轴，若 $△ A B C$ 的面积为3，则k的值为．

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3. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上， $A M ⊥ x$ 轴于点M， $△ A M O$ 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．

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4. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数， $k > 0 ， x >$ $0 ）$ 的图象上，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B$ ，连结 $O A$ ．若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{19}{12}$ ，则 $k =$ .

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5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的对角线 $O B$ 在x轴上，顶点A在反比例函数 $y = \frac{4 \sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 的图象上，则菱形 $O A B C$ 的面积为.

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二、拓展模型

6. 如图，点 $A ， B$ 落在第二象限内双曲线 $y = \frac{k}{x} （ k$ $\neq 0 ）$ 上，过 $A ， B$ 两点分别作 $x$ 轴的垂线段，垂足分别为 $C ， D$ ，连结 $O A ， O B$ ，若 $S_{1} + S_{2} = 2$ 且 $S_{阴影} = 1$ ，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、-4 C、2 D、-2

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7. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A ， B ， C$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ k > 0 ）$ 图象上不同的三点，连结 $O A ， O B ， O C$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ y$ 轴于点 $D$ ，过点 $B ， C$ 分别作 $B E ， C F$ 垂直 $x$ 轴于点 $E ， F ， O C$ 与 $B E$ 相交于点 $M$ ．记 $△ A O D ， △ B O M$ ，四边形 $C M E F$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，则（）

A、 $S_{1} = S_{2} + S_{3}$ B、 $S_{2} = S_{3}$ C、 $S_{3} > S_{2} > S_{1}$ D、 $S_{1} S_{2} < S_{3}^{2}$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象在第一象限的一点，连结OA并延长使AB=OA，过点B作BC⊥x轴，交反比例函数图象交于点D，连结AD，且 $S_{Δ A B D} = 3$ ，则 $k$ 的值为．

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9. 如图， $▱ A B C D$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象上，顶点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，且 $▱ A B C D$ 的对角线交点为坐标原点 $O$ .若 $S_{▱ A B C D} = 5$ ，则 $k =$ .

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10. 如图，正比例函数y=-x与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象相交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为.

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11. 如图，点P是反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} > 0 ， x > 0)$ 图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A，B两点，交反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （ $k_{2} < 0$ 且 $| k_{2} | > k_{1}$ ）的图象于E，F两点，连接 $O E ， O F ， E F$ .

(1)、四边形 $P E O F$ 的面积 $S_{1} =$ （用含 $k_{1} ， k_{2}$ 的式子表示）；

(2)、设P点坐标为 $(2 ， 3)$ .
①点E的坐标是（，），点F的坐标是（，）（用含 $k_{2}$ 的式子表示）；
②若 $△ O E F$ 的面积为 $\frac{15}{4}$ ，求反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的解析式.

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三、直击中考

12. 矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与AB边交于点D ，与AC边交于点F ，与OA交于点E ， OE＝2AE ，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{8}{5}$

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13. 如图，在平面直角坐标系中，点A ， B的坐标分别为 $(5, 0)$ ， $(2, 6)$ ，过点B作 $B C / / x$ 轴交y轴于点C ，点D为线段 $A B$ 上的一点，且 $B D = 2 A D$ .反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点D交线段 $B C$ 于点E ，则四边形 $O D B E$ 的面积是.

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14. 如图，点A在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若 $\frac{A C}{B C}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ，△AOB的面积为6，则k的值为.

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = k x + b$ 与x轴相交于点 $A (- 2, 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象相交于点 $B (2, 3)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、直线 $x = m (m > 2)$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x} (x > 0)$ 和 $y = - \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象分别交于点C ， D ，且 $S_{△ O B C} = 2 S_{△ O C D}$ ，求点C的坐标．

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