数轴的动点往返运动模型—中考数学解题模型精炼

试卷日期：2025-03-15 考试类型：二轮复习

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一、基础训练

1. 已知动点A从原点O出发沿数轴向左运动，同时动点B也从原点出发沿数轴向右运动，动点A的速度为每秒1个单位长度，动点B的速度为每秒2个单位长度，5秒后动点B调转方向向左运动，A、B两点的速度仍保持不变，则秒后A、B、O三点中一点到另两个点的距离相等．

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2. 如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数是 $- 5$ ， $O B = 3 O A$ ，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向终点B运动，同时，另一个动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度在线段AB上来回运动（从点B向点A运动，到达点A后，立即原速返回，再次到达B点后立即掉头向点A运动，掉头时间忽略不计）.当点P达到点B时，P、Q两点都停止运动.当点P运动秒时，点Q恰好落在线段AP的中点上.

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3. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2秒，到达A 点后立即返回，又运动7秒到达B 点，若动点M 运动的速度为每秒2.5个单位长度，求此时B点在数轴上所表示的数.

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4. 如图，数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度点运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．

(1)、当t＝2时，点P表示的有理数为．

(2)、当点P与点B重合时t的值为．

(3)、①在点P由A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为．（用含t的代数式表示）
②在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为．（用含t的代数式表示）

(4)、当点P表示的有理数与原点距离是2的单位长度时，t的值为．

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5. 如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、请用含t的式子表示：动点M对应的数为，动点N对应的数为；

(2)、如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值；

(3)、M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了个单位长度．

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6. 已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝40，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1)、点A表示的有理数是，点C表示的有理数是，点P表示的数是（用含t的式子表示）．

(2)、当t＝秒时，P、B两点之间相距8个单位长度？

(3)、若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m ，使得mAP+7BP﹣2CP为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．

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7. 如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣4和2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动，到达点A后停止运动．设点P运动时间为t（单位：秒）．

(1)、当t＝1时，点P表示的数是；当t＝3.5时，点P表示的数是；

(2)、当点P表示的数为0时，请直接写出t的值；

(3)、在点P由点A向点B的运动过程中，请直接写出点P所表示的数；（用含t的式子表示）

(4)、在点P在运动过程中，请直接写出点P与点B的距离．（用含t的式子表示）

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8. 已知数轴上有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，分别代表 $- 24$ ， $- 10$ ， $10$ ，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 $A$ ， $C$ 两点同时相向而行，若甲的速度为 $4$ 个单位 $/$ 秒，乙的速度为 $6$ 个单位 $/$ 秒．

(1)、问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

(2)、问多少秒后，甲到 $B$ 的距离为 $6$ 个单位？

(3)、若甲到 $B$ 的距离为 $6$ 个单位时，甲掉头返回，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点，若不能，请说明理由．

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9. 如图，在数轴上有三个点 A，B，C，它们表示的有理数分别为a，b，c，已知a是最大的负整数，且|b+5|+(c-2)²=0 .

(1)、a= ，b= ， c=.

(2)、①如果数轴上点D到A，B两点的距离相等，则点 D 表示的数为 ▲ .
②如果数轴上点 E到点A 的距离是5，则点 E 表示的数为 ▲ .

(3)、在数轴上是否存在一点 F，使点 F到点C的距离是点F 到点B 的距离的2倍? 若存在，请直接写出点 F表示的数；若不存在，请说明理由.

(4)、甲、乙两点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度从点 A，C同时出发向点B 运动，甲到达点B后以相对原来2倍的速度返回，求开始运动几秒后甲、乙两点相距3个单位长度?

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二、提升训练

10. 数轴上有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三个动点，其中点 $A$ ，点 $B$ 在起始位置所表示的数分别为6和 $- 4$ ，点 $C$ 在 $A$ 、 $B$ 两点之间．点 $A$ 以每秒1个单位长度的速度向左运动，点 $B$ 以每秒2个单位长度的速度向右运动；点 $C$ 以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点 $A$ 相遇后立即返回向左运动，与点 $B$ 相遇后又立即返回向右运动，依此方式在 $A$ 、 $B$ 两点之间往返运动，若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为．

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11. 如图，已知实数a(a>0)在数轴上对应的位置为点 P.现对点 P 进行如下操作：先把点 P 沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左移动t秒(t>0)，再把所得到的点沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右移动a秒，得到点 P'.我们把这样的操作称为点P的“回移”，点P'为点P的“回移点”.

(1)、当 $t = 2$ 时，
①若 $a = 4,$ ，求点 P 的回移点 P'表示的实数.
②若回移点P'与点 P 恰好重合，求a 的值.

(2)、是否存在这样的情况：原点O，点P 及其回移点P'中，一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点?若存在，请用含a的代数式表示t 的值；若不存在，请说明理由.

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12. 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b， $A B$ 表示A点和B点之间的距离，且a、b满足 $| a + 3 | + {(b + 2 a)}^{2} = 0$ ．

(1)、求 A和B 两点之间的距离；

(2)、若在数轴上存在一点C，且 $A C = 2 B C$ ，求 C点表示的数；

(3)、若在原点 O处放一挡板（忽略挡板的厚度），一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点 B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）；
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．

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13. 已知，C ， D为线段AB上两点，C在D的左边，AB＝a ， CD＝b ，且a ， b满足（a﹣120）²+|4b﹣a|＝0．

(1)、a＝， b＝；

(2)、如图1，若M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，求线段MN的长；

(3)、线段CD在线段AB上从端点D与点B重合的位置出发，以3cm/s的速度沿射线BA的方向运动，同时点P以相同速度从点A出发沿射线AB的方向运动，当点P与点D相遇时，点P原路返回且速度加倍，线段CD的运动状态不变，直到点C到达点A时线段CD和点P同时停止运动，设运动时间为t s ，在此运动过程中，当t为多少s时线段PC＝10cm？

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14. 如图，线段 $A B = 5 c m$ ， $A C : C B = 3 : 2$ ，点 $P$ 以 $0.5 c m / s$ 的速度从点 $A$ 沿线段 $A C$ 向点 $C$ 运动；同时点 $Q$ 以 $1 c m / s$ 从点 $C$ 出发，在线段 $C B$ 上做来回往返运动（即沿 $C \to B \to C \to B \to \dots$ 运动），当点 $P$ 运动到点 $C$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 都停止运动，设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒．

(1)、当 $t = 1$ 时， $P Q =$ ______ $c m$ ；

(2)、当 $t$ 为何值时，点 $C$ 为线段 $P Q$ 的中点？

(3)、若点 $M$ 是线段 $C Q$ 的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使 $P M$ 的长度保持不变？如果存在，求出 $P M$ 的长度；如果不存在，请说明理由．

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15. 【阅读】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A ， B分别表示有理数a ， b ，则A ， B两点之间的距离 $A B = | a - b |$ ；线段AB的中，点P表示的数为 $\frac{a + b}{2}$ ．
【探究】如图，已知数轴上点A ， B分别表示数 $- 20$ ， 10，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动．当点M ， N第一次相遇时，两点停止运动，设运动时间为t秒，线段MN的中点为P ．

(1)、线段AB的中点表示的数为．

(2)、求点P表示的数．（用含t的式子表示）

(3)、若点M ， N第一次相遇后，继续以原来的速度和方向运动，点M到达点B后停留7秒，随后立即以原来的速度返回，点N到达点A后立即以原来的速度返回，两点再次相遇时，停止运动．在整个运动过程中，当 $P A = \frac{5}{4} P B$ 时，求t的值．

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16. 定义：若A、B、C为数轴上三个不同的点，若点C到点A的距离和点C到点B的距离的2倍的和为16，我们就称点C是[A ， B]的友好点．例如：点M、N、P表示的数分别为﹣8、4、0，则点P到点M的距离是8，到点N的距离是4，那么点P是[M ， N]的友好点，而点P就不是[N ， M]的友好点．

(1)、若点M、N、P表示的数分别为3、9、14，则是[ ， ]的友好点．（空格内分别填入M、N、P）

(2)、若点M、P表示的数分别为﹣6、﹣2，且P是[M ， N]的友好点，则点N为．

(3)、如图，数轴上A ， B ， C三点分别表示的数为﹣10、12、2，点Q从B点出发以每秒12个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当它到达A点后立即以相同的速度返回往B点运动，并持续在A ， B两点间往返运动．在Q点出发的同时，点P从A点出发以每秒3个单位长度向右匀速运动，直到当点P达到C点时，点P ， Q停止运动．当t为何值时，点C恰好为[P ， Q]的友好点？

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