绝对值的最值模型—中考数学解题模型精炼

试卷日期：2025-03-15 考试类型：二轮复习

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一、基础模型——两绝对值的和的最值

1. $x$ 是数轴上一点表示的数，则 $| x + 2 | + | x - 3 |$ 的最小值是（）

A、1 B、 $- 5$ C、5 D、 $- 1$

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2. 当x变化时，|x-4|+|x+t|有最小值3，则常数t的值为( )

A、-1 B、-7 C、-1或-7 D、3或-1

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3. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-2的点的距离，|x-3|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点的距离.当|x+2|+|x-3|取得最小值时，x的取值范围是( )

A、x≤-2 B、-2≤x≤3 C、x≤-2或x≥3 D、x≥3

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4. 实数 $a 、 b$ 满足 $|a + 1| + |a + 3| + |b + 2| + |b - 5| = 9$ ，记代数式 $2 a b + 2 a + b$ 的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、-25 B、-27 C、-29 D、-31

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5. 若x为有理数，则|x-7|+|x+2||的最小值是.

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6. 数轴上表示整数的点称为整点．数轴上点M表示的数为a，点N表示的数为 $8 - a$ ，其中a为负整数，如果在线段 $M N$ 上有201个整点（包括M和N点），则代数式 $|x + a| + |x - a|$ 的最小值为．

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7. 数轴是一个非常重要的工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道 $|5| = |5 - 0|$ ，它的几何意义是数轴上表示5的点与原点（即表示O的点）之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作 $|a - b|$ ．利用数形结合思想，当 $|x - 1| + |x - 4|$ 取得最小值时，写出此时所有整数值x为．

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8. 阅读材料：
因为|x|=|x-0|，所以|x|的几何意义可解释为数轴上表示数x的点与表示数0的点之间的距离。这个结论可推广为 $| x_{1} - x_{2} |$ 的几何意义是数轴上表示数x₁的点与表示数x₂的点之间的距离。
根据上述材料，解答下列问题：

(1)、等式|x-2|=3的几何意义是什么? x的值是多少?

(2)、等式|x-4|=|x-5|的几何意义是什么? x的值是多少?

(3)、式子|x-1|+|x-3|的几何意义是什么? 这个式子的最小值是多少?

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9. 【问题背景】
我们知道 $|x|$ 的几何意义是：在数轴上数x对应的点到原点O的距离，这个结论可以推广为： $|x_{1} - x_{2}|$ 表示在数轴上数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 对应点之间的距离．在数轴上，点 A，B的位置如图1所示， $A B = |1 - (- 2)| = 3$ ．
【问题解决】
（1）已知 $|x - 1| + |x + 3| = 10$ ，则x的值为________．
（2）代数式 $|x + 1| + |x + 4|$ 的最小值为________．
（3）代数式 $|x - 2| - |x + 14|$ 的最大值为________．
（4）运用四：如图2所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是 $- 5$ ， F点表示数是 $- 2$ ， G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为 $E F$ ，点E与点G之间的距离表示为 $E G$ ，点F与点G之间的距离表示为 $F G$ ，若 $m F G - 3 E F$ 的值是一个定值，试确定m的值．

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二、基础模型——两绝对值的差型最值

10. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离，|x-2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离，那么|x+1|-|x-2|的最大值是.

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11. 代数式|x-1|-|x+6|-5 的最大值是.

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12. 数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.
利用数形结合思想回答下列问题：

(1)、数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为.

(2)、若|x+3|=4，则x=.

(3)、|x-3|-|x+2|最大值为，最小值为.

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13. 小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．”
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”
他们把数轴分为三段： $x < - 1$ ， $- 1 \leq x \leq 2$ 和 $x > 2$ ，经研究发现，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，式子 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值为3．
请你根据他们的解题思路解决下面的问题。

(1)、当式子 $| x - 2 | + | x - 4 |$ 取最小值时，最小值是。

(2)、已知 $y = | x + 8 | - | x - 2 |$ ， y的最大值是。

(3)、已知： $| x + 12 | = 3 | x - 8 |$ ，则 $x =$ 。

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三、拓展模型——多个绝对值的最值

14. |x+2|+|x-2|+|x-1|的最小值是( )

A、5 B、4 C、3 D、2

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15. 已知x为一切实数，则|x+1|+|x-2|+|x-4|+|x+2|+|x-6|的最小值是( )

A、13 B、15 C、16 D、11

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16. 若式子 $| \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} | + | \frac{5}{4} x - \frac{1}{4} | + | \frac{7}{4} x - \frac{1}{4} | + | \frac{9}{4} x - \frac{1}{4} | + | \frac{11}{4} x - \frac{1}{4} | + | \frac{13}{4} x - \frac{1}{4} |$ 的值取到最小值时，则x满足（）

A、 $\frac{1}{11}$ ≤x≤ $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ ≤x≤ $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ ≤x≤ $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{13}$ ≤x≤ $\frac{1}{11}$

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17. 设a=|x+1|，b=|x-1|，c=|x+3|，则a+2b+c的最小值为.

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18. 设 abcd 是一个四位数，其中a，b，c，d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子la-b|+|b-c|+|c-d|+|d-a|的最大值是.

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19. 我们知道，数轴上 $A 、 B$ 两个点，它们表示的数分别是 $a 、 b$ ，那么 $A 、 B$ 两点之间的距离为 $A B = |a - b|$ ．如 $2$ 与 $3$ 的距离可表示为 $|2 - 3|$ ， $2$ 与 $- 3$ 的距离可表示为 $|2 - (- 3)|$ ．
（ $1$ ） $|x - 2| + |x + 5|$ 的最小值为；
（ $2$ ） $2 |x - 3| + |x + 6| + |x + 4|$ 的最小值为．

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20. 根据以下素材，尝试解决问题.

综合与探究：绝对值的几何意义
素材1	数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示. 在数轴上，有理数5与-2对应的两点之间的距离为\|5-(-2)\|=7；在数轴上，有理数-2与3对应的两点之间的距离为\|-2-3\|=5； ……
素材2	如图，在数轴上，有理数a的对应点为A，有理数b的对应点为B，A，B两点之间的距离表示为\|a-b\|或\|b-a\|，记为AB=\|a-b\|=\|b-a\|.
问题解决
问题1	(1)在数轴上，有理数-100与-5对应的两点之间的距离等于，若式子\|x+2\|=3，则x= .
问题2	(2)根据上述材料，求式子\|x+3\|+\|x-4\|的最小值.
问题3	(3)根据上述材料，当x= 时，式子\|x-1\|+\|x+2\|+\|x+6\|的最小值是 .

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21. 我们知道， $| 5 - (- 3) |$ 表示5与 $- 3$ 之差的绝对值，实际上也可理解为5与 $- 3$ 两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：

(1)、填空： $| 7 - (- 2) | =$ __________，若 $|a - 1| = 5$ ，则 $a =$ __________；

(2)、填空：使得 $|x + 4| + |x - 2| = 8$ 成立的x是__________；

(3)、由以上探索，猜想对于任何有理数x， $|x + 2| + |x - 5|$ 是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由．

(4)、由以上探索，猜想对于任何有理数x， $|x - 1| + |x - 3| + |x - 4|$ 是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由．

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22.

(1)、求|x-1|+|x-3|的最小值；

(2)、求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值；

(3)、当x为何值时，|x-1|+|x-2|+……+|x-n|的值最小?

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23. 数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．而数轴是一个非常重要的数学工具，它是数形结合的基础．一般地，点 $A 、 B$ 在数轴上分别表示有理数 $a 、 b$ ，那么 $A 、 B$ 之间的距离可表示为 $|a - b|$ ．例如： $|3 - 1|$ 表示3到1的距离．

(1)、点 $A ， B ， C$ 在数轴上表示的数分别为x，-1，5，那么 $A$ 到 $B$ 的距离与 $A$ 到 $C$ 的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示），且 $A$ 到 $B$ 的距离与 $A$ 到 $C$ 的距离之和为8时，此时 $x$ 的值为．

(2)、当 $x$ 的值为多少时， $|x - 2 |+| x + 1 |+| x - 5|$ 有最小值？最小值为多少？

(3)、求 $|x - 1 |+| x - 2 |+| x - 3 |+ \dots +| x - 99|$ 的最小值？

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24. 陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题：

(1)、探究：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______；
②数轴上表示 $- 2$ 和 $- 5$ 的两点之间的距离是_______；
③数轴上表示4和 $- 3$ 的两点之间的距离是_______；

(2)、归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______；

(3)、应用：
①优秀的陈英杰老师发现代数式 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的几何意义是：表示有理数 $x$ 的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得 $| x + 1 | + | x - 2 |$ 的最小值为_______；
②求 $| x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | + \dots + | x - 2025 |$ 的最小值．

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四、直击中考

25. 定义ㅤ我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a ， b的点A ， B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a ．
应用ㅤ如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．

(1)、经过多长时间，点A ， B之间的距离等于3个单位长度？

(2)、求点A ， B到原点距离之和的最小值．

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