第3章《整式的乘除》——浙教版数学七年级下册单元检测

试卷日期：2025-03-09 考试类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 古人形容一件物品轻薄，常常用轻如蚕纱，薄如蝉翼来形容．据了解，一片蝉翼的厚度约为0.00028米，数字0.00028用科学记数法表示为（　　）

A、 $2.8 \times 10^{- 3}$ B、 $2.8 \times 10^{- 4}$ C、 $0.28 \times 10^{- 4}$ D、 $28 \times 10^{- 5}$

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2. 下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ C、 $(a - 1)^{2} = a^{2} - 1$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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3. 计算 $- 3^{99} \times {(- \frac{1}{3})}^{100}$ 的结果为（　　）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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4. 计算 $(1 - 3)^{0}$ 的结果是（）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $4$

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5. 已知 $x^{m} = 2$ ， $x^{n} = 3$ ，则 $x^{3 m - 2 n}$ 的值为（）

A、72 B、 $\frac{8}{9}$ C、 $- 1$ D、 $\frac{9}{8}$

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6. 已知 $a^{2} - 5 = 2 a$ ，则代数式 $(a - 2) (a + 3) - 3 (a - 1)$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、8 D、 $- 8$

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7. 若 $x^{2} + k x + 25 = {(x - 5)}^{2}$ ，那么k的值是（）

A、5 B、 $- 5$ C、10 D、 $- 10$

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8. 如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）

A、 $(a + 1) (a - 1) = a^{2} - 1$ B、 ${(a - 1)}^{2} = a^{2} - 2 a + 1$ C、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 2 a + 1$ D、 $a (a + 1) = a^{2} + a$

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9. 阅读理解：如果 $a - \frac{1}{a} = 1$ ，我们可以先将等式两边同时平方得到 ${(a - \frac{1}{a})}^{2} = 1$ ，再根据完全平方公式计算得： $a^{2} - 2 a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} = 1$ ，即 $a^{2} - 2 + \frac{1}{a^{2}} = 1$ ，所以 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}} = 3$ ．请运用上面的方法解决下面问题：如果 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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二、填空题（每题3分，共18分）

10. 计算： $(2 a^{3} x^{2} - a^{2} x^{3} + 3 a x^{2}) \div \frac{1}{3} a x^{2} =$ ．

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11. 如图所示，C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C, B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 34$ ，则图中阴影部分面积为．

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12. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 40 ， a b = 12$ ，则 $a - b$ 的值为．

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13. 若 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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14. 两个边长分别为 $a$ ， $b (a < b)$ 的正方形按如图两种方式放置，图 $1$ 中阴影部分的面积为 $m$ ，图 $2$ 中阴影部分的面积为 $n$ ，则大正方形 $A B C D$ 的面积为 $($ 用 $m$ ， $n$ 的代数式表示 $)$ ．

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15. 文敏同学在学习中发现下列各式存在一定的规律：
（1） $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ；
（2） $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ ；
（3） $(a - b) (a^{3} + a^{2} b + a b^{2} + b^{3}) = a^{4} - b^{4}$ ；
请你通过观察、猜想，计算判断以下结论：
① $(a - b) (a^{5} + a^{4} b + a^{3} b^{2} + a^{2} b^{3} + a b^{4} + b^{5}) = a^{6} - b^{6}$ ；
② $(a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1}) = a^{n} - b^{n}$ （其中n为正整数，且 $n \geq 2$ ）；
③ $2^{11} + 2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^{7} + \dots + 2^{2} + 2 = 2^{12} - 1$ ；
④ $3^{11} + 3^{10} + 3^{9} + 3^{8} + 3^{7} + \dots + 3^{2} + 3 + 1 = 3^{12} - 1$ ；
其中正确的有（填序号）

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三、解答题（共9题，共72分）

16. 计算： $|- 5| + {(- 1)}^{2024} - {(5 π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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17. 计算： $\sqrt[3]{8} - 2 \times (- 3) + {(- 1)}^{2024} - {(π - 3.14)}^{0}$

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18. 先化简，再求值：
[(2a+3b)(2a-3b)-(2a-b)²-3ab]÷(-2b)，其中a=2，b=-1

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19. 先化简，再求值： $[(4 a - 3 b) (a + 3 b) - (a - 2 b) (a + 2 b) + 5 b^{2}] \div 3 a$ ，其中 $a = 4$ ， $b = - \frac{2}{3}$ ．

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20. 先化简，再求值： $[(x + 2 y) (x - 2 y) + {(x + 2 y)}^{2} - 2 x y] \div 2 x$ ，其中 $x = 5$ ， $y = - 8$ ．

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21. 图①是一个长为 $2 a$ ，宽为 $2 b (a > b)$ 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开．把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②拼成一个正方形．

(1)、图②中间空白部分的面积是（填 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 或 $a b$ ）．

(2)、观察图②，请写出代数式 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 、 $a b$ 之间的等量关系式．

(3)、根据图②得到的关系式解答下列问题：若 $x + y = 4$ ， $x y = 3$ ，求 $x - y$ 的值．

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22. 如图1，将边长 $(a + b)$ 的正方形剪出两个边长分别为 $a ， b$ 的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题：

(1)、用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：；方法2：；从中你发现什么结论呢：

(2)、根据上述结论，初步解决问题：已知 $a + b = 6, a^{2} + b^{2} = 20,$ 求 $a b$ 的值；

(3)、解决问题：如图2，C是线段 $A B$ 上一点，以 $A C ， B C$ 为边向两边作等腰直角三角形，记 $S_{Rt △ A C D} = S_{1}, S_{Rt △ C B E} = S_{2},$ 若 $A C + B C = 8, S_{1} + S_{2} = 25,$ 求图中阴影部分的面积．

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23. 如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．

(1)、观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1：；
方法2：；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式：．

(2)、已知图2的总面积为 $49$ ，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为 $25$ ，求 $a b$ 的值．

(3)、用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若 $a + b = 8$ ， $a b = 15$ ，求图3中阴影部分的面积．

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第3章 《整式的乘除》——浙教版数学七年级下册单元检测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共9题，共72分）

第3章《整式的乘除》——浙教版数学七年级下册单元检测