湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（2）

试卷日期：2025-03-09 考试类型：二轮复习

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一、综合题

1. 已知关于x的二次函数y₁＝x²+bx+c（实数b，c为常数）.

(1)、若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；

(2)、若b²﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；

(3)、记关于x的二次函数y₂＝2x²+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y₂≥y₁ ，求实数m的最小值.

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2. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = c = - 2$ ，求方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的判别式的值；

(2)、如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $O C$ 上，连接 $A C$ 、 $B D$ ，满足 $∠ A C O = ∠ A B D$ ， $- \frac{b}{a} + c = x_{1}$ .
①求证： $△ A O C ≅ △ D O B$ ；

②连接 $B C$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，点 $F (0 ， x_{1} - x_{2})$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $A F$ ，且 $∠ A C O = ∠ C A F + ∠ C B D$ ，求 $\frac{c}{x_{1}}$ 的值.

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3. 将抛物线y＝ax²（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）²+k.抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点.

(1)、求抛物线H的表达式；

(2)、如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E.作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；

(3)、如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

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4. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线 $A F$ 交 $B C$ 于 $F$ ，延长 $A B$ 到 $E$ 使 $B E = F C$ ， $G$ 是 $A F$ 的中点， $G E$ 交 $B C$ 于 $O$ ，连接 $G D$ .

(1)、当四边形 $A B C D$ 是矩形时，如图，求证：① $G E = G D$ ；② $B O \cdot G D = G O \cdot F C$ .

(2)、当四边形 $A B C D$ 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.

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5. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ .

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、如图2，直线 $l$ ： $y = k x + 3$ 经过点A，点 $P$ 为直线 $l$ 上的一个动点，且位于 $x$ 轴的上方，点 $Q$ 为抛物线上的一个动点，当 $P Q / / y$ 轴时，作 $Q M ⊥ P Q$ ，交抛物线于点 $M$ （点 $M$ 在点 $Q$ 的右侧），以 $P Q$ ， $Q M$ 为邻边构造矩形 $P Q M N$ ，求该矩形周长的最小值；

(3)、如图3，设抛物线的顶点为 $D$ ，在（2）的条件下，当矩形 $P Q M N$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $F$ ，使得 $∠ C B F =$ $∠ D Q M$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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6. 如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上.

(1)、求该抛物线的表达式.

(2)、正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标.

(3)、在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值.

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7. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、连接 $B C$ ，求直线 $B C$ 的解析式；

(3)、请在抛物线的对称轴上找一点 $P$ ，使 $A P + P C$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标，并求出此时 $A P + P C$ 的最小值；

(4)、点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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8. 如图，在直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求 $b 、 c$ 的值；

(2)、点 $P (m ， n)$ 为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线 $l ： y = x$ 于点Q.
①当 $0 < m < 3$ 时，求当P点到直线 $l ： y = x$ 的距离最大时m的值；

②是否存在m，使得以点 $O 、 C 、 P 、 Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值.

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9. 已知函数y＝ ${\begin{matrix} - x (x \leq 0) \\ x^{2} (x > 0) \end{matrix}$ 的图象如图所示，点A（x₁ ， y₁）在第一象限内的函数图象上.

(1)、若点B（x₂ ， y₂）也在上述函数图象上，满足x₂＜x₁.
①当y₂＝y₁＝4时，求x₁ ， x₂的值；

②若|x₂|＝|x₁|，设w＝y₁﹣y₂ ，求w的最小值；

(2)、过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $A D$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $D$ 运动，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ 于点 $Q$ ，作 $P M ⊥ A D$ 交直线 $A B$ 于点 $M$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ，设 $△ P Q M$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分图形的面积为 $S$ （平方单位），点 $P$ 运动时间为 $t$ （秒）.

(1)、当点 $M$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值；

(2)、当 $t$ 为何值时， $△ A P Q$ 与 $△ B M F$ 全等；

(3)、求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

(4)、以线段 $P Q$ 为边，在 $P Q$ 右侧作等边三角形 $P Q E$ ，当 $2 \leq t \leq 4$ 时，求点 $E$ 运动路径的长.

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11. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $F_{1}$ ： $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ .

(1)、求抛物线 $F_{1}$ 的解析式；

(2)、如图2，作抛物线 $F_{2}$ ，使它与抛物线 $F_{1}$ 关于原点 $O$ 成中心对称，请直接写出抛物线 $F_{2}$ 的解析式；

(3)、如图3，将（2）中抛物线 $F_{2}$ 向上平移2个单位，得到抛物线 $F_{3}$ ，抛物线 $F_{1}$ 与抛物线 $F_{3}$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 的左侧）.
①求点 $C$ 和点 $D$ 的坐标；

②若点 $M$ ， $N$ 分别为抛物线 $F_{1}$ 和抛物线 $F_{3}$ 上 $C$ ， $D$ 之间的动点（点 $M$ ， $N$ 与点 $C$ ， $D$ 不重合），试求四边形 $C M D N$ 面积的最大值.

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12. 若关于x的函数y，当 $t - \frac{1}{2} \leq x \leq t + \frac{1}{2}$ 时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数 $h = \frac{M - N}{2}$ ，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.

(1)、①若函数 $y = 4044 x$ ，当 $t = 1$ 时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；

(2)、若函数 $y = \frac{2}{x} （ x \geq 1 ）$ ，求函数y的“共同体函数”h的最大值；

(3)、若函数 $y = - x^{2} + 4 x + k$ ，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

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13. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax²+2x+c经过点A(﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF $∥$ AB交BC于点F.

(1)、求抛物线和直线BC的函数表达式，

(2)、当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长.

(3)、若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

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14. 已知抛物线y＝x²+bx+c．

(1)、如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB.
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；

（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

(2)、如图②，直线y＝ $\frac{4}{3}$ x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y=x²+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围.

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15. 已知关于 $x$ 的函数 $y = a x^{2} + b x + c$ .

(1)、若 $a = 1$ ，函数的图象经过点 $(1 ， - 4)$ 和点 $(2 ， 1)$ ，求该函数的表达式和最小值；

(2)、若 $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = m + 1$ 时，函数的图象与 $x$ 轴有交点，求 $m$ 的取值范围.

(3)、阅读下面材料：
设 $a > 0$ ，函数图象与 $x$ 轴有两个不同的交点 $A$ ， $B$ ，若 $A$ ， $B$ 两点均在原点左侧，探究系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，所以 $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ ；

②因为 $A$ ， $B$ 两点在原点左侧，所以 $x = 0$ 对应图象上的点在 $x$ 轴上方，即 $c > 0$ ；

③上述两个条件还不能确保 $A$ ， $B$ 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需 $- \frac{b}{2 a} < 0$ .

综上所述，系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 应满足的条件可归纳为： ${\begin{array}{l} a > 0 \\ Δ = b^{2} - 4 a c > 0 \\ c > 0 \\ - \frac{b}{2 a} < 0 \end{array}$

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数 $y = a x^{2} - 2 x + 3$ 的图象在直线 $x = 1$ 的右侧与 $x$ 轴有且只有一个交点，求 $a$ 的取值范围.

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16. 阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式 $△ \geq 0$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ”.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $b = 3$ ，且该二次函数的图象过点 $(1 ， 1)$ ，求 $c$ 的值；

(2)、如图所示，在平面直角坐标系 $O x y$ 中，该二次函数的图象与 $x$ 轴相交于不同的两点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，其中 $x_{1} < 0 < x_{2}$ 、 $| x_{1} | > | x_{2} |$ ，且该二次函数的图象的顶点在矩形 $A B F E$ 的边 $E F$ 上，其对称轴与 $x$ 轴、 $B E$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ， $B E$ 与 $y$ 轴相交于点 $P$ ，且满足 $t a n ∠ A B E = \frac{3}{4}$ .
①求关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根的判别式的值；
②若 $N P = 2 B P$ ，令 $T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{16}{5} c$ ，求 $T$ 的最小值.

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