湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（1）

试卷日期：2025-03-09 考试类型：二轮复习

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一、综合题

1. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，其中 $B (1 ， 0)$ ， $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、在二次函数图象上是否存在点 $P$ ，使得 $S_{△ P A C} = S_{△ A B C}$ ？若存在，请求出 $P$ 点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上一点，且点 $Q$ 的纵坐标为 $a$ ，当 $△ Q A C$ 是锐角三角形时，求 $a$ 的取值范围．

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2. 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 8$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 4 ， 0) 、 B (2 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)、点 $P$ 为第三象限内抛物线上一点，作直线 $A C$ ，连接 $P A$ 、 $P C$ ，求 $△ P A C$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

(3)、设直线 $l_{1} ： y = k x + k - \frac{35}{4}$ 交抛物线于点 $M$ 、 $N$ ，求证：无论 $k$ 为何值，平行于 $x$ 轴的直线 $l_{2} ： y = - \frac{37}{4}$ 上总存在一点 $E$ ，使得 $∠ M E N$ 为直角．

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3. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与y轴相交于点C.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长；

②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ．

(1)、若 $a = 1 ， c = - 1$ ，且该二次函数的图象过点 $(2 ， 0)$ ，求 $b$ 的值；

(2)、如图所示，在平面直角坐标系 $O x y$ 中，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1} ， 0) ， B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，点D在 $⊙ O$ 上且在第二象限内，点 $E$ 在 $x$ 轴正半轴上，连接 $D E$ ，且线段 $D E$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $F$ ， $∠ D O F = ∠ D E O ， O F = \frac{3}{2} D F$ ．

①求证： $\frac{D O}{E O} = \frac{2}{3}$ ．
②当点 $E$ 在线段 $O B$ 上，且 $B E = 1$ ． $⊙ O$ 的半径长为线段 $O A$ 的长度的 $2$ 倍，若 $4 a c = - a^{2} - b^{2}$ ，求 $2 a + b$ 的值．

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5. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)、直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

(2)、若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

(3)、当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

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6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (4 ， 0)$ ，且与直线 $l ： y = - x - 1$ 交于 $D 、 E$ 两点（点 $D$ 在点 $E$ 的右侧），点 $M$ 为直线 $l$ 上的一动点，设点 $M$ 的横坐标为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，与拋物线交于点 $N$ ．若 $0 < t < 4$ ，求 $△ N E D$ 面积的最大值．

(3)、抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $R$ 为平面直角坐标系上一点，若以 $B 、 C 、 M 、 R$ 为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点 $R$ 的坐标．

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7. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C₁：y＝x²+2x﹣3与抛物线C₂：y＝ax²+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)、求抛物线C₂的解析式和点G的坐标．

(2)、点M是x轴下方抛物线C₁上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C₂于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．

(3)、如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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8. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点B，与y轴交于点C，连接 $A C$ ，过B、C两点作直线．

(1)、求a的值．

(2)、将直线 $B C$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，交抛物线于 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 两点．在直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、抛物线上是否存在点P，使 $∠ P B C + ∠ A C O = 45 °$ ，若存在，请求出直线 $B P$ 的解析式；若不存在，请说明理由．

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9. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 6$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ 、点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ .

(1)、请直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标；

(2)、点 $P (m ， n) (0 < m < 6)$ 在抛物线上，当 $m$ 取何值时， $△ P B C$ 的面积最大？并求出 $△ P B C$ 面积的最大值.

(3)、点 $F$ 是抛物线上的动点，作 $F E$ // $A C$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，是否存在点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 的中点，延长 $D A$ 至E，连接 $E B ， E C$ ．

(1)、求证： $△ B A E ≌ △ C A E$ ；

(2)、在如图1中，若 $A E = A D$ ，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作 $D F ⊥ A B$ 于F，设H是 $E C$ 的中点，过点H作 $H G ∥ A B$ 交 $F D$ 于G，交 $D E$ 于M．
求证：① $A F \cdot M H = A M \cdot A E$ ；
② $G F = G D$ ．

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11. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，点 $P$ 是抛物线的对称轴 $l$ 上的一个动点，当 $△ P A C$ 的周长最小时，求 $\frac{P A}{P C}$ 的值；

(3)、如图2，取线段 $O C$ 的中点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使 $t a n ∠ Q D B = \frac{1}{2}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数）经过点 $F (0 ， 5)$ ，顶点坐标为 $(2 ， 9)$ ，点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 为抛物线上的动点， $P H ⊥ x$ 轴于H，且 $x_{1} ≥ \frac{5}{2}$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，直线 $O P ： y = \frac{y_{1}}{x_{1}} x$ 交 $B F$ 于点 $G$ ，求 $\frac{S_{△ B P G}}{S_{△ B O G}}$ 的最大值；

(3)、如图2，四边形 $O B M F$ 为正方形， $P A$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ， $B C$ 交 $F M$ 的延长线于 $C$ ，且 $B C ⊥ B E ， P H = F C$ ，求点 $P$ 的横坐标．

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13. 我们约定：若关于x的二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 同时满足 $\sqrt{a_{2} - c_{1}} + （ b_{2} + b_{1} ）^{2} + | c_{2} - a_{1} | = 0 ， b_{1} - {b_{2}}^{2023} \neq 0$ ，则称函数 $y_{1}$ 与函数 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

(1)、若关于x的二次函数 $y_{1} = 2 x^{2} + k x + 3$ 与 $y_{2} = m x^{2} + x + n$ 互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

(2)、对于任意非零实数r，s，点 $P (r ， t)$ 与点 $Q (s ， t) (r \neq s)$ 始终在关于x的函数 $y_{1} = x^{2} + 2 r x + s$ 的图像上运动，函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 互为“美美与共”函数．
①求函数 $y_{2}$ 的图像的对称轴；
②函数 $y_{2}$ 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

(3)、在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与它的“美美与共”函数 $y_{2}$ 的图像顶点分别为点A，点B，函数 $y_{1}$ 的图像与x轴交于不同两点C，D，函数 $y_{2}$ 的图像与x轴交于不同两点E，F．当 $C D = E F$ 时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

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14. 已知四个不同的点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3}), D (x_{4}, y_{4})$ 都在关于 $x$ 的函数 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 是常数， $a \neq 0)$ 的图象上.

(1)、当A，B两点的坐标分别为 $(- 1, - 4), (3, 4)$ 时，求代数式 $2024 a + 1012 b + \frac{3}{7}$ 的值；

(2)、当A，B两点的坐标满足 $a^{2} + 2 (y_{1} + y_{2}) a + 4 y_{1} y_{2} = 0$ 时，请你判断此函数图象与 $x$ 轴的公共点的个数，并说明理由；

(3)、当 $a > 0$ 时，该函数图象与 $x$ 轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： $2 a^{2} + 2 (y_{1} + y_{2}) a + {y_{1}}^{2} + {y_{2}}^{2} = 0, 2 a^{2} - 2 (y_{3} + y_{4}) a + {y_{3}}^{2} + {y_{4}}^{2} = 0$ .请问是否存在实数 $m (m > 1)$ ，使得 $A B, C D, m \cdot E F$ 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出 $m$ 的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注： $m \cdot E F$ 表示一条长度等于EF的 $m$ 倍的线段).

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15. 已知抛物线 $Q_{1} ： y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、请求出抛物线 $Q_{1}$ 的表达式．

(2)、如图1，在 $y$ 轴上有一点 $D (0 ， - 1)$ ，点 $E$ 在抛物线 $Q_{1}$ 上，点 $F$ 为坐标平面内一点，是否存在点 $E ， F$ 使得四边形 $D A E F$ 为正方形？若存在，请求出点 $E ， F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，将抛物线 $Q_{1}$ 向右平移2个单位，得到抛物线 $Q_{2}$ ，抛物线 $Q_{2}$ 的顶点为 $K$ ，与 $x$ 轴正半轴交于点 $H$ ，抛物线 $Q_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ C P K = ∠ C H K$ ？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l ： y = a (x + 2)$ （ $a > 0$ ）与x轴交于点A ，与抛物线 $E ： y = a x^{2}$ 交于B ， C两点（B在C的左边）．

(1)、求A点的坐标；

(2)、如图1，若B点关于x轴的对称点为 $B^{'}$ 点，当以点A ， $B^{'}$ ， C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；

(3)、定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如 $(- 2 ， 1)$ ， $(2 ， 0)$ 等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (6 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 6)$ ．点D为线段 $B C$ 上的一动点．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、如图1，求 $△ A O D$ 周长的最小值；

(3)、如图2，过动点D作 $D P ∥ A C$ 交抛物线第一象限部分于点P，连接 $P A ， P B$ ，记 $△ P A D$ 与 $△ P B D$ 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

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18. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 过点 $A (- 1 ， 0)$ 、点 $B (5 ， 0)$ ，交y轴于点C ．

(1)、求b ， c的值．

(2)、点 $P (x_{0} ， y_{0}) (0 < x_{0} < 5)$ 是抛物线上的动点
①当 $x_{0}$ 取何值时， $△ P B C$ 的面积最大？并求出 $△ P B C$ 面积的最大值；
②过点P作 $P E ⊥ x$ 轴，交 $B C$ 于点E ，再过点P作 $P F ∥ x$ 轴，交抛物线于点F ，连接 $E F$ ，问：是否存在点P ，使 $△ P E F$ 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 如图（1），二次函数 $y = a x^{2} - 5 x + c$ 的图像与 $x$ 轴交于 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (b ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ．

(1)、求二次函数的解析式和 $b$ 的值．

(2)、在二次函数位于 $x$ 轴上方的图像上是否存在点 $M$ ，使 $S_{△ B O M} = \frac{1}{3} S_{△ A B C}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图（2），作点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点 $E$ ，连接 $C E$ ，作以 $C E$ 为直径的圆．点 $E^{'}$ 是圆在 $x$ 轴上方圆弧上的动点（点 $E^{'}$ 不与圆弧的端点 $E$ 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段 $A E$ ，使点 $E$ 移动到点 $E^{'}$ ，线段 $A E$ 的对应线段为 $A^{'} E^{'}$ ，连接 $E^{'} C$ ， $A^{^{'}} A$ ， $A^{^{'}} A$ 的延长线交直线 $E^{'} C$ 于点 $N$ ，求 $\frac{A A^{'}}{C N}$ 的值．

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20. 【问题背景】
已知点 $A$ 是半径为 $r$ 的 $⊙ O$ 上的定点，连接 $O A$ ，将线段 $O A$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到 $O E$ ，连接 $A E$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线 $l$ ，在直线 $l$ 上取点 $C$ ，使得 $∠ C A E$ 为锐角．

(1)、【初步感知】
如图1，当 $α = 60 °$ 时， $∠ C A E =$ ▲ $°$ ；

(2)、【问题探究】
以线段 $A C$ 为对角线作矩形 $A B C D$ ，使得边 $A D$ 过点 $E$ ，连接 $C E$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $F$ ．
①如图2，当 $A C = 2 r$ 时，求证：无论 $α$ 在给定的范围内如何变化， $B C = C D + E D$ 总成立：
②如图3，当 $A C = \frac{4}{3} r$ ， $\frac{C E}{O E} = \frac{2}{3}$ 时，请补全图形，并求 $t a n α$ 及 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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