第2章《一元二次方程》——浙教版数学八年级下册单元检测

试卷日期：2025-03-06 考试类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为（）

A、0 B、 $\pm 1$ C、1 D、 $- 1$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 8 = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = - 2 + 2 \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - 2 - 2 \sqrt{3}$ B、 $x_{1} = 2 + 2 \sqrt{3}$ ， $x_{2} = 2 - 2 \sqrt{3}$ C、 $x_{1} = 2 + 2 \sqrt{2}$ ， $x_{2} = 2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $x_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - 2 \sqrt{3}$

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3. 下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A、（x﹣2）²＝﹣1 B、（x﹣2）²＝0 C、（x﹣2）²＝1 D、（x﹣2）²＝2

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4. 关于x的方程x²＋4kx＋2k²＝4的一个解是﹣2，则k值为（）

A、2或4 B、0或4 C、﹣2或0 D、﹣2或2

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5. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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6. 用配方法解方程 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ ，变形后的结果正确的是（）

A、 ${(x + 4)}^{2} = - 9$ B、 ${(x + 4)}^{2} = - 7$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 7$

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7. 规定：对于任意实数a、b、c ，有【a ， b】★c＝ac+b ，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x ， x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）

A、m $＜ \frac{1}{4}$ B、m $＞ \frac{1}{4}$ C、m $＞ \frac{1}{4}$ 且m≠0 D、m $＜ \frac{1}{4}$ 且m≠0

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8. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（）

A、 $x \cdot \frac{60 - x}{2} = 864$ B、x（60+x）＝864 C、x（60﹣x）＝864 D、x（30﹣x）＝864

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9. 关于x的一元二次方程 $3 x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两根，其中一根为 $x = 1$ ，则这两根之积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $- \frac{1}{3}$

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10. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（）

A、 $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ B、 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ C、 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} - 6 x - 10 = 0$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 已知 $a$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个解，则代数式 $a^{2} - a + \frac{a^{2} - 1}{a}$ 的值是．

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12. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 配方为 ${(x - 2)}^{2} = k$ ，则k的值是.

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c =$ .

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14. 定义新运算： $a \otimes b = {\begin{array}{l} a^{2} - b (a \leq 0) \\ - a + b (a > 0) \end{array}$ 例如： $- 2 \otimes 4 = (- 2)^{2} - 4 = 0$ ， $2 \otimes 3 = - 2 + 3 = 1$ ．若 $x \otimes 1 = - \frac{3}{4}$ ，则 $x$ 的值为．

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15. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + 3 x_{1} x_{2}$ 的值是．

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16. 如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为 $21 c m^{2}$ 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．

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三、解答题（共10题，共72分）

17. 解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

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18. 解方程： $(2 x + 3)^{2} = (3 x + 2)^{2}$

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19. 解方程： $x^{2} - x - 2 = 0$

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20. 解方程 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 m x + 3 m^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $m > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为2，求 $m$ 的值．

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22. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ ．

(1)、当 $b = a + 2$ 时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)、若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值，并求此时方程的根．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x - 3 m^{2} + m = 0$

(1)、求证：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = - \frac{5}{2}$ ，求m的值．

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24. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x + m - 1 = 0$ .

(1)、求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 9$ ，求m的值.

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25. 如图，老李想用长为 $70 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 $m^{2}$ 的羊圈？

(2)、羊圈的面积能达到 $650$ $m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

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26. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根 $x_{1} ， x_{2}$ 和系数a，b，c有如下关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

解：∵m，n是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，

∴ $m + n = 1 ， m n = - 1$ ．

则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、应用：一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、类比：已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根为m，n，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值；

(3)、提升：已知实数s，t满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0 ， 2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ 且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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第2章 《一元二次方程》——浙教版数学八年级下册单元检测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共10题，共72分）

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