四川省成都市2024届高三下学期第三次诊断性检测理科数学试题

试卷日期：2024-05-09 考试类型：高考模拟

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一、选择题: 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ x = 2 k + 1 ， k \in Z} ， B = {x ∣ x = 4 k + 1 ， k \in Z}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cup B = Z$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(z + 1) i = - 1 - i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $a, b$ 是两条不同的直线， $α$ 是平面，若 $a / / α, b \subset α$ ，则 $a, b$ 不可能（）

A、平行 B、垂直 C、相交 D、异面

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4. “数九”从每年“冬至”当天开始计算，每九天为一个单位，冬至后的第 81 天， “数九”结束，天气就变得温暖起来. 如图，以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位： $^{\circ} C$ )，下列说法正确的是（）

A、“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B、“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” $^{\circ} C$ C、“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D、“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差

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5. 设 $m \in R$ ，双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{{(m + 1)}^{2}} = 1$ ，则“ $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ” ，是 “ $m = 1$ ” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 如图，由观测数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6)$ 的散点图可知， $y$ 与 $x$ 的关系可以用模型 $y = b ln x + a$ 拟合，设 $z = ln x$ ，利用最小二乘法求得 $y$ 关于 $z$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} z + 1$ . 已知 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} x_{6} = e^{12}$ ， $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 18$ ，则 $\hat{b} =$ （）

A、 $\frac{17}{e^{12}}$ B、 $\frac{12}{e^{12}}$ C、1 D、 $\frac{17}{12}$

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7. 已知 $\frac{\sin 2 α}{1 - \cos 2 α} = 2$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $- 2$

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8. 已知直线 $l_{1} : x - a y + 1 = 0$ 与 $⊙ C : {(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相交于 $A ， B$ 两点，若 $△ A B C$ 是直角三角形，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 或 $- 1$ B、 $\sqrt{3}$ 或 $- \sqrt{3}$ C、 $- \frac{1}{7}$ 或 $- 1$ D、 $- \frac{1}{7}$ 或 $- \sqrt{3}$

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9. 将函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，与函数 $g (x) = \cos (ω x + φ)$ 的图象重合，则 $ω$ 的最小值为（）

A、9 B、6 C、3 D、2

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{π - x} - \cos x$ ，若实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 成等差数列，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) = 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} =$ （）

A、 $0$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $3 π$

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11. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $1 ， M ， N$ 分别是边 $A B ， A D$ 上的点 (均不与端点重合)，记 $△ A M N ， △ C M N$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ . 若 $S_{1} = |\vec{C M} \cdot \vec{A B}| \cdot |\vec{C N} \cdot \vec{A D}|$ ，则 $S_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ B、 $[\sqrt{2} - 1 ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $[\sqrt{2} - 1 ， \frac{1}{2})$

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12. 在棱长为5的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ 是 $D D_{1}$ 中点，点 $P$ 在正方体的内切球的球面上运动，且 $C P ⊥ A Q$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\sqrt{5} π$ B、 $2 \sqrt{5} π$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $5 π$

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二、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡上.

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{x}, x \geq 1 \\ 3^{- x}, x < 1 \end{array}$ ，则 $f (l o g_{3} 2)$ 的值为.

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14. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} = 2 a c$ 且 $s i n C = 2 s i n A$ ，则 $c o s A$ 的值为 .

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15. 设 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 y$ 的焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $C$ 的切线，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，则 $\vec{D E} \cdot \vec{O B}$ (其中 $O$ 为坐标原点) 的值为

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16. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - m e^{2 x}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，且最小值为 $\frac{2}{m}$ ，则实数 $m$ 的值为.

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三、解答题: 本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $2 a_{n} = S_{n} + n$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1), c_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A B / / C D ， ∠ B A D = 60^{\circ} ， |A B| = 1$ ， $|A D| = |C D| = 2 ， B E ⊥ C D$ .

(1)、证明：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D ⊥ D E ， |D E| = 4 \sqrt{2} ，$ $F$ 为 $C E$ 中点，求直线 $B F$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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19. 课外阅读对于培养学生的阅读兴趣，拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用. 某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长 $t$ (单位：分钟)，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
时长t
$[0, 20)$
$[20, 40)$
$[40, 60)$
$[60, 80)$
$[80, 100]$
学生人数
50
100
200
125
25

(1)、估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)、用频率估计概率，从该市中学生中随机抽取2名学生参加座谈，抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在 $[0, 20)$ 内记0分，在 $[20, 60)$ 内记1分，在 $[60, 100)$ 内记2分. 用 $X$ 表示这两名学生得分之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = x ln x - a \sqrt{x} + a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $P (a, b)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当 $l$ 过坐标原点 $O$ 时， $|A B| = \sqrt{10}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、线段 $O P$ 上是否存在定点 $Q$ ，使得直线 $Q A$ 与直线 $Q B$ 的斜率之积为定值. 若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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四、选修 4-4: 坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = m t^{2} \\ y = m t \end{array}$ ( $t$ 为参数). 以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ + \frac{π}{4}) - 2 \sqrt{2} = 0$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $M (6, 2)$ 为线段 $A B$ 的三等分点，求实数 $m$ 的值.

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五、选修 4-5 : 不等式选讲

23. 已知函数 $f (x) = |x - 2 m| - m (m < 0)$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2 x$ 的解集；

(2)、当 $m = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $n$ ，若非零实数 $a, b, c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = n$ ，证明： $\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{3}{2}$ .

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时长t	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100]$
学生人数	50	100	200	125	25

四川省成都市2024届高三下学期第三次诊断性检测理科数学试题

一、选择题: 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

二、填空题: 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分. 把答案填在答题卡上.

三、解答题: 本大题共 6 小题， 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

四、选修 4-4: 坐标系与参数方程

五、选修 4-5 : 不等式选讲

一、选择题: 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡上.

三、解答题: 本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.