四川省大数据学考大联盟2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷

试卷日期：2024-05-03 考试类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设 $i$ 为虚数单位，若 $i z + 1 = 2 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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2. 已知点 $P (3, 1)$ 在角 $α$ 的终边上，则 $t a n 2 α =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $c = \sqrt{7}$ ， $C = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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4. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D B} = - \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列三点一定共线的是（）

A、 $A$ ， $B$ ， $C$ B、 $A$ ， $B$ ， $D$ C、 $A$ ， $C$ ， $D$ D、 $B$ ， $C$ ， $D$

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5. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 5$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，由 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ ， $D$ 四个点为顶点的正四面体 $B - A_{1} C_{1} D$ 的表面积为 $a^{2}$ ，则该正方体的表面积为（）

A、 $\sqrt{2} a^{2}$ B、 $\sqrt{3} a^{2}$ C、 $2 a^{2}$ D、 $\sqrt{6} a^{2}$

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7. 将函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{3}) (ω < 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，且函数 $g (x)$ 是奇函数，则 $ω$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{5}{12}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 已知等边 $△ A B C$ 的边长为3，点 $D$ ， $E$ 为边 $A C$ 的两个三等分点，点 $D$ 靠近点 $A$ ，点 $G$ 在线段 $A B$ 上运动，设 $|\vec{B E} + \vec{D G}|$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M^{2} + 4 N^{2} =$ （）

A、8 B、10 C、19 D、 $\frac{115}{4}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{3}{4} π$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- 1, - 1)$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $A E = m A B$ ， $A F = n A C$ ， $A D$ 与 $E F$ 交于点 $G$ ， $A G = λ G D$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = 2$ 时， $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、当 $λ = 2$ 时， $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 3$ C、当 $λ = 3$ 时， $3 \vec{A B} \cdot \vec{A G} = 28$ D、若 $\vec{B G} \cdot \vec{A C} = - 6$ ，则 $λ = \frac{1}{3}$

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11. 已知 $s i n θ + \sqrt{3} c o s θ = \frac{\sqrt{3}}{2 c o s θ} + 1$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{18}$ B、 $\frac{π}{12}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知向量 $\vec{a} = (- m, 4), \vec{b} = (m - 1, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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13. 函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{4}) =$ .

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14. 已知三个复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ，且 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2$ ， $|z_{3}| = \sqrt{2}$ ， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 所对应的向量 $\vec{O Z_{1}}$ ， $\vec{O Z_{2}}$ 满足 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} = 0$ ；则 $|z_{3} - z_{1} - z_{2}|$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知平面向量 $\vec{a}$ 和非零向量 $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60 °$ .

(1)、求 $|\vec{b}|$ 及 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 s i n^{2} x - 1$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到的函数 $g (x)$ ，求 $g (x)$ 的单调递减区间.

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17. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{a}{c o s A} = \frac{2 b - c}{c o s C}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ， $b c = 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形 $C D E F$ 的四个顶点均在边界上，扇形 $A O B$ 的半径 $O A = 30 m$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $∠ C D O = θ$ ， $D O$ ， $E O$ 分别交 $C F$ 于 $H$ ， $G$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{12}$ 时，求边 $D E$ 的长；

(2)、当矩形 $C D E F$ 的面积 $S$ 取最大值时，求 $\frac{H O}{D O}$ 的值.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义向量 $\vec{O A} = (m, n)$ 为函数 $f (x) = m \sin x + n \cos x$ 的有序相伴向量.

(1)、设 $\vec{O A} = (\sqrt{3}, 1)$ 为函数 $g (x) = sin (x + φ) - cos (\frac{4 π}{3} - x) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的有序相伴向量，求实数 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的有序相伴向量为 $\vec{O B} = (0, 1)$ ，若函数 $h (x) = f (x) + \sqrt{3} |\sin x|$ ， $x \in [0, 2 π]$ 与直线 $y = k$ 有且仅有四个不同的交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、将（1）中所得函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $F (x)$ .已知 $M (- 2, 3)$ ， $N (2, 6)$ ，请问在函数 $F (x)$ 图象上是否存在一点 $F$ ，使得 $\vec{F M} ⊥ \vec{F N}$ 成立.若存在，求出 $F$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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