2025高考一轮复习（人教A版）第十讲指数与指数函数

试卷日期：2024-11-22 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为 $y = {\begin{array}{l} 0.1 t, 0 \leq t \leq 10 \\ {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{10} - a}, t > 10 \end{array}$ ，函数的图象如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）

A、7：00 B、6：40 C、6：30 D、6：00

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二、多项选择题

2. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于y轴对称 D、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数

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三、填空题

四、解答题

3. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数
（1）求 $b$ 的值；
（2）判断并用定义法证明函数 $f (x)$ 的单调性；
（3）不等式 $f (x^{2} - m) + f (- m x + 4) < 0$ 对任意 $x \in [1, 3]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围

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4. （1）计算： $e^{ln 3} - {log}_{\sqrt{2}} (2 \sqrt{2}) + {(0.125)}^{\frac{2}{3}} + \sqrt[2023]{{(- 2)}^{2023}}$ ；
（2）已知 $a^{2 x} = 2$ ，求 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ 的值．

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