人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.3分式方程（三阶）

试卷日期：2024-11-20 考试类型：同步测试

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一、选择题（每题3分）

1. 若关于x的方程 $\frac{3}{x} + \frac{a x}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$ 有增根 $x = - 1$ ，则 $2 a - 3$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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2. 某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（）

A、40分钟 B、60分钟 C、80分钟 D、100分钟

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3. 某公司准备铺设一条长 $1200 m$ 的道路，由于采用新技术，实际每天铺路的速度比原计划快 $10 %$ ，结果提前 $2$ 天完成任务 $.$ 设原计划每天铺设道路 $x m$ ，根据题意可列方程为（）

A、 $\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1 + 10 %) x} = 2$ B、 $\frac{1200}{(1 + 10 %) x} - \frac{1200}{x} = 2$ C、 $\frac{1200}{(1 - 10 %) x} - \frac{1200}{x} = 2$ D、 $\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1 - 10 %) x} = 2$

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4. 若关于x的方程 $\frac{m}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} = 1$ 的解为负数，则m的取值范围是（）

A、 $m < 2$ B、 $m < 3$ C、 $m < 2$ 且 $3 m \neq 1$ D、 $m < 3$ 且 $m \neq 2$

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5. 若数 $a$ 使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2}{x - 1} + \frac{a}{1 - x} = 3$ 的解为非负数，且使关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 2}{3} - \frac{y}{2} > 1 \\ \frac{y - a}{2} \leq 0 \end{array}$ 的解集为 $y < - 2$ ，则符合条件的所有整数 $a$ 的个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 设 $x$ 为正整数，则存在正整数 $a$ 和 $b$ ，使得 $\frac{1 + b - 2 a}{a^{2} - b} = x$ ，则 $a$ 、 $b$ 的值分别为（）.

A、 $x + 2$ ， $x^{2} + 3 x + 3$ B、 $x + 2$ ， $x^{2} + 2 x + 2$ C、 $x - 2$ ， $x^{2} - 3 x + 3$ D、 $x + 1$ ， $x^{2} + x + 1$

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7. 老师提出一个问题：若关于x的分式方程 $\frac{x - 3}{x - 1} = 2 - \frac{a}{1 - x}$ 的解为正数，求a的取值范围．嘉嘉的解答为 $a < - 1$ ．淇淇说：“嘉嘉考虑的不全面，a还有一个限制条件．”下列判断正确的是（）

A、淇淇说的对，限制条件是 $a \neq - 2$ B、淇淇说的不对，答案就是 $a < - 1$ C、嘉嘉的解答不对，应该是 $a > - 5$ D、淇淇说的对，限制条件是 $a \neq - 4$

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8. 在计算 $\frac{m^{2}}{m + 1}$ ÷ $\frac{\emptyset}{m + 1}$ 时，把运算符号“÷”看成了“+”，计算结果是m，则这道题的正确的结果是（　　）

A、 $\frac{1}{m - 1}$ B、 $\frac{1}{m}$ C、m-1 D、m

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二、填空题（每题2分）

9. 若关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x + 3}{2} \leq 4 \\ 2 x - a \geq 2 \end{array}$ ，至少有2个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{a - 1}{y - 2} + \frac{4}{2 - y} = 2$ 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是．

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10. 某中学假期后勤中的一项工作是请 $30$ 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．

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11. 若关于x的分式方程 $\frac{1}{x - 3} + \frac{m}{x + 3} = \frac{3 + m}{x^{2} - 9}$ 无解，则 $m =$ ．

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12. “共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了全球多个国家的温饱问题.某试验基地现有 $A$ 、 $B$ 两块试验田，分别种植甲、乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了24吨和30吨水稻.已知甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的1.2倍， $A$ 块试验田比 $B$ 块试验田少10亩，设乙种杂交水稻的亩产量是 $x$ 吨，则可列得的方程为.

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13. 若 $\frac{2}{2 y^{2} + 3 y + 7}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{1}{4 y^{2} + 6 y - 1}$ 的值为．

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三、解答题（共16分）

14. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．

(1)、求篮球和足球的单价分别是多少元：

(2)、学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低于4900元．那么有哪几种购买方案？

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15. 已知，关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ ．

(1)、当 $a = 2$ ， $b = 1$ 时，求分式方程的解；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $b$ 为何值时分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 无解；

(3)、若 $a = 3 b$ ，且 $a$ 、 $b$ 为正整数，当分式方程 $\frac{a}{2 x + 3} - \frac{b - x}{x - 5} = 1$ 的解为整数时，求 $b$ 的值．

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