人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.3分式方程（二阶）

试卷日期：2024-11-20 考试类型：同步测试

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一、选择题（每题3分）

1. 若关于x的分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 2} = \frac{1}{2}$ 的解为非负数，则a的取值范围是( ).

A、a≥1 B、a>1 C、a≥1且a≠4 D、a>1且a≠4

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2. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）

A、 $\frac{1080}{x} ＝ \frac{1080}{x － 15} ＋ 6$ B、 $\frac{1080}{x} ＝ \frac{1080}{x － 15} － 6$ C、 $\frac{1080}{x ＋ 15} ＝ \frac{1080}{x} － 6$ D、 $\frac{1080}{x ＋ 15} ＝ \frac{1080}{x} ＋ 6$

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3. 对于关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$ ，以下说法错误的是（）

A、分式方程的增根是 $x = 0$ 或 $x = 3$ B、若分式方程有增根，则 $m = - \frac{3}{2}$ C、若分式方程无解，则 $m = - \frac{1}{2}$ 或 $m = - \frac{3}{2}$ D、分式方程的增根是 $x = 3$

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4. 若关于x的方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 有正数解，则（）．

A、m＞0且m≠3 B、m＜6且m≠3 C、m＜0 D、m＞6

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5. 某校计划在寒假中整修操场，已知甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；学校决定甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，正好如期完成．设规定的工期为x天，根据题意列方程为（　　）

A、 $\frac{5}{x} + \frac{x}{x + 6} = 1$ B、 $\frac{5}{x} + \frac{x}{x - 6} = 1$ C、 $\frac{5}{x} + \frac{5}{x + 6} = 1$ D、 $\frac{5}{x} + \frac{5}{x - 6} = 1$

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6. 若整数m使得关于x的方程 $\frac{m}{x - 1} = \frac{2}{1 - x} + 3$ 的解为非负整数，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} 4 y - 1 < 3 (y + 3) \\ y - m ⩾ 0 \end{array}$ 至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（）

A、7 B、5 C、0 D、－2

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7. 为了缅怀革命先烈，传承红色精神，绵阳市某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h ．根据题意，下列方程正确的是（）

A、 $\frac{15}{x} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2 x}$ B、 $\frac{15}{x} = \frac{15}{2 x} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{15}{x} + 30 = \frac{15}{2 x}$ D、 $\frac{15}{x} = \frac{15}{2 x} + 30$

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8. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 5 x - 4 \\ \frac{13}{6} x - \frac{8}{3} a \geq \frac{3}{2} x - 2 a \end{array}$ 的解集为 $x \geq a$ ，且关于x的分式方程 $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{a}{1 - x} = 2$ 的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题（每题2分）

9. 若关于x的分式方程2- $\frac{1 - k}{x - 2}$ = $\frac{1}{2 - x}$ 的解是正数，则k的取值范围是.

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10. 对于实数x，y定义一种新运算“*”： $x * y = \frac{y}{x^{2} - y}$ ，例如： $1 * 2 = \frac{2}{1^{2} - 2} = - 2$ ，则分式方程 $- 1 * x = \frac{m x}{x - 1} - 1$ 无解时，m的值是．

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11. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道x米，则可得方程.

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12. 若关于x的方程 $\frac{3 - 2 x}{x - 3} - \frac{m x - 2}{3 - x} = - 1$ .无解，则m的值是．

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13. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 $M i n {a ， b}$ 表示a，b中的较小的值，如 $M i n {2 ， 4} = 2$ ，按照这个规定，方程 $M i n {\frac{1}{x} ， - \frac{1}{x}} = \frac{3}{x} - 1$ （其中 $x \neq 0$ ）的解为.

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三、计算题（共6分）

14. 解分式方程．

(1)、 $\frac{3}{x - 2} = 2 + \frac{x}{2 - x}$

(2)、 $\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{1 - x} = \frac{6}{x^{2} - 1}$

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四、解答题（共10分）

15. 给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的解是 $x = \frac{1}{a + b}$ 成立，那么我们就把实数a，b称为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如： $a = 2$ ， $b = - 5$ 就是关于x的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的一个“方程数对”，记为[2， $- 5$ ]．

(1)、判断数对①[3， $- 5$ ]，②[ $- 2$ ， 4]中是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的“方程数对”的是；（只填序号）

(2)、若数对[ $n$ ， $3 - n$ ]是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的“方程数对”，求 $n$ 的值；

(3)、若数对[ $m - k ， k$ ]（ $m \neq - 1$ 且 $m \neq 0$ ， $k \neq 1$ ）是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x} + 1 = b$ 的“方程数对”，用含m的代数式表示k．

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