人教版八年级上学期数学课时进阶测试15.1分式（三阶）

试卷日期：2024-11-20 考试类型：同步测试

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一、选择题（每题3分）

1. 对于非负整数x，使得 $\frac{x^{2} + 3}{x + 3}$ 是一个正整数，则符合条件x的个数有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 下列分式 $\frac{x^{2} - 2 x}{2 y - x y} ， \frac{x + 1}{x^{2} - 1} ， \frac{- 2}{a^{2} - 2 a} ， \frac{12 x y}{9 z^{3}}$ 中，最简分式有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 下列结论：①无论a为何实数， $\frac{a}{a^{2} + 1}$ 都有意义；②当 $a = - 1$ 时，分式 $\frac{a + 1}{a^{2} - 1}$ 的值为0；③若 $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ 的值为负，则x的取值范围是 $x < 1$ ； ④若 $\frac{x + 1}{x + 2} \div \frac{x + 1}{x}$ 有意义，则x的取值范围是 $x \neq - 2$ 且 $x \neq 0$ .其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（）（填序号即可）．
$① \frac{x - 1}{x^{2} + 1} ； ② \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}} ； ③ \frac{x + y}{x^{2} - y^{2}} ； ④ \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}} .$

A、① B、② C、③ D、④

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5. 若分式 $\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的值为正数，则x的取值范围是（）

A、 $x > - 2$ B、 $x < 1$ C、 $x > - 2$ 且 $x \neq 1$ D、 $x > 1$

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6. 下列说法正确的是（）

A、代数式 $\frac{y}{π}$ 是分式 B、分式 $\frac{x y}{2 x - 3 y}$ 中x，y都扩大2倍，分式的值不变 C、分式 $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ 的值为0，则x的值为-2 D、分式 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ 是最简分式

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7. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ，则分式 $\frac{5 y + xy - 5 x}{y - xy - x}$ 的值为（）

A、8 B、 $\frac{7}{2}$ C、 $- \frac{5}{3}$ D、4

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8. 把分式 $\frac{\frac{1}{3} x + \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} x - \frac{1}{4}}$ 的分子与分母各项系数化为整数,得到的正确结果是（）

A、 $\frac{3 x + 2}{4 x - 3}$ B、 $\frac{4 x + 2}{6 x - 3}$ C、 $\frac{2 x + 1}{2 x - 1}$ D、 $\frac{4 x + 1}{6 x - 3}$

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二、填空题（每空2分）

9. 已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，则代数式 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值为．

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10. 若分式 $\frac{| x - 2 | - 1}{x^{2} - 6 x + 9}$ 的值为0，则x﹣2的值为．

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11. 若3x﹣4y﹣z=0，2x+y﹣8z=0，则 $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x y - y z + x z}$ 的值为.

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12. 如果分式 $\frac{2}{x - 1} + (x + 3)^{0}$ 有意义，那么x的取值范围是．

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13. 请阅读关于“乐数”的知识卡片，并回答问题：
乐数：我们将同时满足下列条件的分数称为“乐数”．
a．分子和分母均为正整数；
b．分子小于分母；
c．分子、分母均为两位数，且分子的个位数字与分母的十位数字相同；
d．去掉分子的个位数字与分母的十位数字后，得到的分数与原来的分数相等．
例如： $\frac{16}{64}$ 去掉相同的数字6之后，得到的分数 $\frac{1}{4}$ 恰好与原来的分数相等，则 $\frac{16}{64}$ 是一个“乐数”．
（1）判断： $\frac{13}{39}$ （填“是”或“不是”）“乐数”；
（2）写出一个分子的个位数字与分母的十位数字同为9的“乐数” ．

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三、解答题（共14题）

14. 如图，已知点 $A (0, a)$ ， $B (b, 0)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 满足 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = - 2$ ，且分式 $\frac{a^{2} - 16}{a + 4}$ 的值为0，将线段 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至 $O C$ ，连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、直接写出点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

(2)、求 $∠ A C B$ 的度数；

(3)、若 $∠ A O C = 60 °$ ， $∠ A O B$ 的平分线 $O D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，探究线段 $O D$ 、 $B D$ 、 $C D$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

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15. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)、下列分式： $① \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ； $② \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ； $③ \frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ； $④ \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}} .$ 其中是“和谐分式”是 $($ 填写序号即可 $)$ ；

(2)、若a为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{({ab}^{2} - b^{3}) b^{2}}$

小强： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．

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