2025高考一轮复习（人教A版）第九讲函数的应用

试卷日期：2024-11-07 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} - 1 ， x \leq 0 ， \\ x^{\frac{1}{2}} ， x > 0 ， \end{matrix}$ 若 $f (m) = 3$ ，则m的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、9 D、2或9

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2. “空气质量指数（ $A Q I$ ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当 $A Q I$ 大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数 $y$ 随时间 $t$ 变化的趋势由函数 $y = {\begin{array}{l} - 10 t + 290 ， 0 \leq t \leq 12 \\ 56 \sqrt{t} - 24 ， 12 < t \leq 24 \end{array}$ 描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）

A、5小时 B、6小时 C、7小时 D、8小时

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3. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 3) = f (x + 1)$ ，且 $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{1 - x^{2}} ， x \in (- 1 ， 1] \\ 2 - 2 | x - 2 | ， x \in (1 ， 3] \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， 1]$ B、 $f (x)$ 图象的对称轴为直线 $x = 4 k (k \in Z)$ C、当 $x \in (- 3 ， - 2)$ 时， $f (x) = 2 x + 6$ D、方程 $3 f (x) = x$ 恰有5个实数解

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4. 给定函数 $f (x) = x + 2 ， g (x) = 4 - x^{2} ，$ 对于 $\forall x \in R ，$ 用 $M (x)$ 表示 $f (x) ， g (x)$ 中的较小者，记为 $M (x) = \min {f (x) ， g (x)}$ ，则 $M (x)$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、3 D、4

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} ， x \in [0 ， \frac{3}{2}) \\ 2 - f (x - \frac{3}{2}) ， x \in [\frac{3}{2} ， + ∞) \end{array}$ ，则 $f (x) > | l o g_{2} x |$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1) ∪ (1 ， 2)$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x < 0 \\ {(x - 1)}^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ ，函数 $y = t$ 的图象与曲线 $y = f (x)$ 有3个不同的交点，其横坐标依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，设 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{2} - x_{1} x_{3}$ 的取值范围为（）

A、 $[2 ， \frac{86}{27}]$ B、 $(2 ， \frac{86}{27}]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $[2 ， 3]$

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7. 随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时， $g (x) = \frac{1}{80} x^{2} + \frac{9}{2} x$ ，当年产量不低于400辆时， $g (x) = 16 x + \frac{360000}{x} - 3500$ ，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（）

A、1500万元 B、2100万元 C、2200万元 D、3800万元

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8. 定义函数 $m i n {f (x) ， g (x)} = {\begin{array}{l} f (x) ， f (x) \leq g (x) \\ g (x) ， f (x) > g (x) \end{array}$ $h (x) = m i n {| x | - 1 ， x^{2} - 2 a x + a + 2}$ ，若 $h (x) = 0$ 至少有3个不同的解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $[2 ， 3]$ C、 $[3 ， 4]$ D、 $[4 ， 5]$

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二、多项选择题

9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 | x | + 3 ， x \geq - 2 \\ - 2 x - 11 ， x < - 2 \end{array}$ 若互不相等的实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的值可以是（）

A、 $- 8$ B、 $- 7$ C、 $- 6$ D、 $- 5$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x - 1 ， x \geq e \\ b - (x + \frac{a}{x}) ， 1 < x < e \end{array}$ 的最小值为0，e是自然对数的底数，则（）

A、若 $a \in (- 1 ， 0)$ ，则 $b \geq e + \frac{a}{e}$ B、若 $a \in (0 ， 1)$ ，则 $b \leq a + 1$ C、若 $a \in (- \infty ， - e^{2})$ ，则 $b < - e^{2} - \frac{a}{e^{2}}$ D、若 $a \in (e^{2} ， + ∞)$ ，则 $b \geq a + 1$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的图象由如图所示的两条线段组成，则（）

A、 $f (f (1)) = 3$ B、 $f (2) > f (0)$ C、 $f (x) = - x + 1 + 2 | x - 1 |$ ， $x \in [0 ， 4]$ D、 $\exists a > 0$ ，不等式 $f (x) \leq a$ 的解集为 $[\frac{1}{2} ， 2]$

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12. 对任意两个实数a，b，定义 $m i n {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \leq b \\ b ， a > b \end{array}$ ，若 $f (x) = 4 - x^{2}$ ， $g (x) = x^{2}$ ，下列关于函数 $F (x) = m i n {f (x) ， g (x)}$ 的说法正确的是（）

A、函数 $F (x)$ 是偶函数 B、方程 $F (x) = 0$ 有三个解 C、函数 $F (x)$ 有3个单调区间 D、函数 $F (x)$ 有最大值为4，无最小值

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ 3 x - x^{3} ， x < 0 \end{array}$ 若关于x的方程 $f (x) = a$ 有3个不同实根，则实数 $a$ 取值范围为．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 2 ， (x \geq 0) \\ \log_{2} (x + 2) + 1 ， (- 2 < x < 0) \end{array}$ ，若互不相等的实数 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是．

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15. $f (x)$ 在 $R$ 上非严格递增，满足 $f (x + 1) = f (x) + 1 ， g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， | x | < 8 \\ f (x - a) ， | x | \geq 8 \end{array}$ ，若存在符合上述要求的函数 $f (x)$ 及实数 $x_{0}$ ，满足 $g (x_{0} + 4) = g (x_{0}) + 1$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + 2 ， x \leq 1 ， \\ x + \frac{1}{x} - 1 ， x > 1 ， \end{matrix}$ 则 $f (f (\frac{1}{2})) =$ ；若当 $x \in [a ， b]$ 时， $1 \leq f (x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 已知函数f(x)＝log_a(ax²－x＋1)(a＞0，a≠1)．

(1)、若a＝ $\frac{1}{2}$ ，求函数f(x)的值域．

(2)、当f(x)在区间 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{2}]$ 上为增函数时，求a的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = | l o g_{2} x |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{2} ， a]$ 上的最大值；

(2)、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，若存在区间 $A \subseteq I$ ，满足：对任意 $x_{1} \in A$ ，都存在 $x_{2} \in ∁_{I} A$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则称区间 $A$ 为 $f (x)$ 的“ $Γ$ 区间” $.$ 已知 $f (x) = | l o g_{2} x | ， x \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，若 $A = [\frac{1}{2} ， a)$ 为函数 $f (x)$ 的“ $Γ$ 区间”，求 $a$ 的最大值．

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19. 在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度 $y$ （单位：毫克/立方米）随着时间 $x$ （单位：天）变化的函数关系式近似为 $y = {\begin{array}{l} 1 + \frac{x}{8} ， 0 < x \leq 4 \\ \frac{9}{x + 2} ， 4 < x \leq 10 \end{array}$ ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.

(1)、若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

(2)、若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒 $a (1 \leq a \leq 4)$ 个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求 $a$ 的最小值.

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20. 某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为 $R = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} (0 \leq x \leq 5)$ ，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.

(1)、把利润表示为产量的函数.

(2)、产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；

(3)、产量为多少时，企业所得利润最大？

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