高三数学一轮复习阶段题型检测

试卷日期：2024-11-06 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知集合 $A = {x| (x - 3) (x + 1) > 0}$ ， $B = \{x| |x - 1| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0) \cup (2, 3]$ B、 $(2, 3]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, 3)$

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2. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ ，且 $\vec{b} = (- 3 ， 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 6 ， 8)$ B、 $(6 ， - 8)$ C、 $(- \frac{6}{5} ， \frac{8}{5})$ D、 $(\frac{6}{5} ， - \frac{8}{5})$

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3. 已知 $p : - 3 < k < 0, q$ ：不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 的解集为 $R$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2$ ，且 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ．则 $| \vec{b} | =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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5. 设z＝5+i ，则i（ $\bar{z}$ +z）＝（）

A、10i B、2i C、10 D、﹣2

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6. 在复平面内， $(1 + 3 i) (3 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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二、多项选择题

7. 已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ B、 $| z_{1} | = | z_{2} |$ C、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = - i$ D、在复平面内 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的点关于虚轴对称

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8. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 1 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{31} ， | \vec{c} | = 2 | \vec{c} - \vec{a} |$ ，设 $\vec{m} = t \vec{b}$ $(t \in R)$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{5}{2} \vec{b}$ C、 $| \vec{m} - \vec{c} |$ 的最小值为 $2 \sqrt{3} - 2$ D、 $| \vec{m} - \vec{c} |$ 无最大值

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9. 下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{A B} = (\frac{1}{2} ， 3)$ 在向量 $\vec{A C} = (2 ， 1)$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{4}{5} ， \frac{2}{5})$ B、“ $m = 2$ ”是“直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行”的充要条件 C、若正数a，b满足 $a + b = 2$ ，且 $a > b$ ，则 $l n a + l n b < 0$ D、已知 $α ， β$ 为两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若 $m ⊥ α ， n / / β ， α / / β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 设 $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $m \subset β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是线段 $A D_{1}$ 的中点，点M，N满足 $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} C} ， \vec{B_{1} N} = μ \vec{B_{1} C_{1}}$ ，其中 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，则（）

A、存在 $λ ， μ \in (0 ， 1)$ ，使得 $E M ⊥ E N$ B、 $M N$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、当 $λ = \frac{1}{2} ， μ = \frac{3}{4}$ 时，直线 $D_{1} M$ 与平面 $M E N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ D、当 $λ = \frac{1}{2} ， μ = \frac{2}{3}$ 时，过E，M，N三点的平面截正方体得到的截面多边形面积为 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数 $y = s i n (ω x + ϕ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 图象的一部分(如图所示)，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- π ， π]$ B、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 C、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有且只有两个零点 $- \frac{5 π}{12}$ 和 $- \frac{11 π}{12}$

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13. 下列命题中正确的有（）

A、 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 幂函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减，则 $m = - 1$ B、 $f (x) = l o g_{2} (x^{2} - 2 x)$ 的单调递增区间是 $(1, + \infty)$ C、 $f (x) = \frac{1}{a x^{2} + a x + 1}$ 定义域为 $R$ ，则 $a \in [0,4)$ D、 $f (x) = x + 2 \sqrt{4 - x}$ 的值域是 $(- \infty, 5]$

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14. 关于函数 $f (x) = \frac{2}{x} + l n x$ ，下列判断正确的是（）

A、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $y = f (x) - x$ 有且只有1个零点 C、存在正实数 $k$ ，使得 $f (x) > k x$ 成立 D、对两个不相等的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) > \frac{1}{2} + l n 4$ .

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15. 已知正数 $a, b$ 满足 $(a - 1) (b - 1) = 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $\frac{a}{b} + 2 b \geq 5$ C、 $a + b \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq 8$

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16. 已知 $x$ ， $y$ 是正数，且 $x + y = 2$ ，下列叙述正确的是（）

A、 $x y$ 最大值为1 B、 $2^{x} + 2^{y}$ 有最大值4 C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为2 D、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为9

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = m l n x - x e^{x} + x$ ．

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x_{1}) + x_{1} e^{x_{1}} + m = 0 ， f (x_{2}) + x_{2} e^{x_{2}} + m = 0$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜e^x^﹣1恒成立．

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19. 已知函数f（x）＝ln $\frac{x}{2 - x}$ +ax+b（x﹣1）³ ．

(1)、若b＝0，且f^'（x）≥0，求a的最小值；

(2)、证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；

(3)、若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$ .左顶点为 $A$ ，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆方程.

(2)、过点 $(0, - \frac{3}{2})$ 的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\vec{T P} \cdot \vec{T Q} \leq 0$ .若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.

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21. 双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $(b > 0)$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为左右顶点，过点 $M (- 2, 0)$ 的直线l交双曲线 $Γ$ 于两点P、Q ，且点P在第一象限.

(1)、若 $e = 2$ 时，求b.

(2)、若 $b = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ， $△ M A_{2} P$ 为等腰三角形时，求点 $P$ 的坐标.

(3)、过点Q作OQ延长线交 $Γ$ 于点R ，若 $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 1$ ，求b取值范围.

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22. 已知圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 3)$ 和 $B (5 ， 1)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l$ 经过点 $(0 ， 3)$ ，且 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

(3)、 $P$ 为圆上任意一点，在(1)的条件下，求 $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2}$ 的最小值.

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23. 已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 4 x$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的焦点F的坐标和准线 $l$ 的方程；

(2)、过焦点F且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线与抛物线 $Γ$ 交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；

(3)、已知点 $P (1 ， 2)$ ，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线 $Γ$ 交于两个不同的点M、N（均不与点Р重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 已知圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 25$ ．

(1)、设点 $M (- 1 ， \frac{3}{2})$ ，过点M作直线l与圆C交于A ， B两点，若 $| A B | = 8$ ，求直线l的方程；

(2)、设P是直线 $x + y + 6 = 0$ 上的点，过P点作圆C的切线PA ， PB ，切点为A ， B ，求证：经过A ， P ， C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

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