2025高考一轮复习（人教A版）第六讲函数的概念及其表示

试卷日期：2024-11-05 考试类型：一轮复习

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一、选择题

1. 向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2 - x}$ ，则函数 $g (x) = f (2 x) + f (x^{2})$ 的定义域为（）

A、 $[- \sqrt{2} \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty, \sqrt{2}]$ C、 $[1, \sqrt{2}]$ D、 $[- \sqrt{2}, 1]$

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3. 如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：能够将圆 $O$ 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 $O$ 的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（）

A、对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B、函数 $f (x) = tan x$ 可以是某个圆的“太极函数” C、函数 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 可以是某个圆的“太极函数” D、 $y = f (x)$ 是“太极函数”的充要条件为“ $y = f (x)$ 的图象是中心对称图形”

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} l n x, 0 < x \leq 1, \\ 3 f (x - 1), x > 1, \end{cases}$ 则 $f (\frac{10}{3})$ 等于（）

A、 $- 9 l n 3$ B、 $9 l n 3$ C、 $- 27 l n 3$ D、 $27 l n 3$

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5. 设 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{x}, 0 < x < 1 \\ 2 (x - 1), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (m + 1)$ ，则 $f (\frac{1}{m}) =$ （）

A、12 B、16. C、2 D、6

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6. 已知 $[a]$ 表示不超过实数 $a$ 的最大整数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，若函数 $f (x) = \frac{ln x - 2}{ln x + 1} ，$ 其中 $x \in (1, + \infty)$ ，则 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $\{- 2, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x + 5 - 3 a ， x < 2, \\ l o g_{2} x ， x \geq 2 \end{array}$ 的值域为R ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(2, 3]$ B、 $(1, 2]$ C、 $(1, 3]$ D、 $[2, + \infty)$

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8. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝ $\{\begin{matrix} \frac{c}{\sqrt{x}}, x < A, \\ \frac{c}{\sqrt{A}}, x \geq A \end{matrix}$ (A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是

A、75，25 B、75，16 C、60，25 D、60，16

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二、多项选择题

9. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2} + 1, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $R$ B、 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 5)$ C、若 $f (x) = 3$ ，则 $x = \sqrt{2}$ D、 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 2$ 有一个交点

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10. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 x - x^{2}, x \geq 0, \\ 3^{- x} - 1, x < 0, \end{array}$ 其中 $f (a) = f (b) = f (c) = λ$ ，且 $a < b < c$ ，则（）

A、 $f [f (- 2)] = - 32$ B、函数 $g (x) = f (x) - f (λ)$ 有2个零点 C、 $a + b + c \in (4 + \log_{3} \frac{1}{5}, 4)$ D、 $a b c \in (- 4 \log_{3} 5, 0)$

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三、填空题

11. 已知函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + lg (x - 2)$ 的定义域为．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x - 1 |, 0 \leq x < 2 \\ 2 {(x - 3)}^{2} - 1, x \geq 2 \end{array}$ ，则函数 $y = f (f (x)) - \frac{1}{2}$ 的零点个数为.

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13. 若二次函数 $y = a x^{2} - b x + 5$ （ $a \neq 5$ ）的图象与 $x$ 轴交于 $(1, 0)$ ，则 $b - a + 2014$ 的值是.

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 3, & x \leq 2 \\ 6 + \log_{a} x, & x > 2 \end{array} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 4]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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四、解答题

15. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ .

(1)、求函数的定义域；

(2)、求 $f (- 3)$ 的值；

(3)、当 $x > 0$ 时，求 $f (x - 1)$ 的解析式.

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16. 已知函数 $f (x) = x - [x], x \in [- 1, 2)$ ，其中[x]表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[- 3.05] = - 4 ， [2.1] = 2.$

(1)、将 $f (x)$ 的解析式写成分段函数的形式；

(2)、请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 $f (x)$ 的图象；

(3)、根据图象写出函数 $f (x)$ 的值域.

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17. 某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度 $y$ (单位：毫克/立方米)随着时间 $x$ (单位：天)变化的函数关系式近似为 $y = \{\begin{cases} 8 - \frac{x}{2}, 0 < x \leq 4 \\ \frac{36}{x + 2}, 4 < x \leq 10 \end{cases}$ ，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒 $a$ 个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求 $a$ 的最小值？（精确到 $0.1$ ）

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