浙江省杭州四中吴山2023-2024学年高一上学期期末数学试题

试卷日期：2024-03-08 考试类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $C = {1, 2, 3}$ ，则集合 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$

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2. “ $x < 2$ ”是“ $| x | < 2$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $a = {0.1}^{0.2}$ ， $b = {0.1}^{0.1}$ ， $c = \log_{0.2} 0.1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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4. 已知 $\sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{4 π}{3} + α) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} - x - \frac{1}{4}, x \leq 1 \\ \log_{a} x - 1, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{2}, 1]$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$

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6. 函数 $f (x) = (e^{2 x} + 1) \frac{\sin x}{e^{x}}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω \in N^{*})$ 有一条对称轴为 $x = \frac{2 π}{3}$ ，当 $ω$ 取最小值时，关于x的方程 $f (x) = a$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上恰有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $[- 1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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8. 若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $(x - 1) (y - 4) = 4$ ，且 $x + \frac{y}{4} \geq a^{2} - 3 a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\{a | - 1 < a < 4\}$ B、 $\{a | - 1 \leq a \leq 4\}$ C、 $\{a | - 4 \leq a \leq 1\}$ D、 $\{a | - 4 < a < 1\}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 若 $a, b, c \in R$ ，给出下列命题中，错误的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a + c > b + d$ B、若 $a > b, c > d$ ，则 $b - c > a - d$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b, c > 0$ ，则 $a c > b c$

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10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 $2 \sin 18 °$ 表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（）

A、 $\sin 102 ° + \sqrt{3} \cos 102 °$ B、 $2 \cos 78 ° + 2 \cos 42 °$ C、 $\frac{2 \tan 9 ° \cos 18 °}{1 - \tan^{2} 9 °}$ D、 $\frac{\sin 36 °}{\sin 108 °}$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、该图象对应的函数解析式为 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减

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12. 养正高中某同学研究函数 $f (x) = \lg \frac{1 - x}{1 + x}$ ，得到如下结论，其中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 1)$ ，且 $f (x)$ 是奇函数 B、对于任意的 $x \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (\frac{2 x}{x^{2} + 1}) = 2 f (x)$ C、对于任意的 $a, b \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (a) + f (b) = f (\frac{a + b}{1 + a b})$ D、对于函数 $f (x)$ 定义域内的任意两个不同的实数 $x_{1}, x_{2}$ ，总满足 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 扇形的半径为2，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则此扇形的面积为．

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14. 函数 $f (x) = \ln x + x - 6$ 的零点 $x_{0} \in (n, n + 1), n \in Z$ ，则 $f (n)$ 的值为．

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15. 已知 $α$ 是第二象限角，且 $\cos α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\frac{\sin^{2} α - \frac{1}{2} \sin 2 α}{\sin (α - \frac{π}{4}) \cos α} =$ ．

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16. 已知 $f (x) = \{\begin{matrix} |x + 2|, x \leq 0 \\ |{log}_{3} x|, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) - a = 0$ 有四个根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} - x_{1} + x_{4} - x_{2}$ 的取值范围为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 计算：

(1)、 $\lg 2 + \lg 5 - {(\frac{1}{9})}^{\frac{1}{2}} + {(π - 3)}^{0}$ ；

(2)、 $\sin (- \frac{23 π}{6}) + \cos (\frac{23 π}{7}) \cdot \tan 2024 π - \cos \frac{13 π}{3}$ ．

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18. 已知集合 $A = \{x |- 2 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x |m + 1 \leq x \leq 2 m - 1\}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求集合 $A \cap B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 某工厂要设计一个零部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，该零部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为 $C D = x, A D = y$ （单位： $cm$ ），该零部件的面积是 $4 \sqrt{3} {cm}^{2}$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并求出定义域；

(2)、设用到的圆形铁片的面积为 $S$ （单位： ${cm}^{2}$ ），求 $S$ 的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x^{2} + 2 x - 1), a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 过定点 $(1, 2)$ ，求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $f (x)$ 值域为 $R$ ，求a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 2$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 在R上的单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若实数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $g (x_{1}) g (x_{2}) = - 4$ ，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值．

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22. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x} - a \cdot 2^{- x}}{2^{x} + a \cdot 2^{- x}}$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求a的值；

(2)、若 $a \neq 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域是 $[\frac{k}{4^{m}}, \frac{k}{4^{n}}]$ （ $k \in R$ ），求 $\frac{k}{a}$ 的取值范围．

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