2024年高考真题分类汇编九导数在函数中的应用

试卷日期：2024-10-14 考试类型：二轮复习

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一、选择题

1. 定义集合 $M = {x_{0} ∣ x_{0} \in R, x \in (- \infty, x_{0}), f (x) < f (x_{0})}$ ，在使得 $M = [- 1, 1]$ 的所有 $f (x)$ 中，下列成立的是( )

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取最大值 C、 $f (x)$ 严格增 D、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取到极小值

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2. 设函数 $f (x) = a (x + 1)^{2} - 1, g (x) = c o s x + 2 a x$ （ $a$ 为常数），当 $x \in (- 1, 1)$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有一个交点，则 $a =$ （）．

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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3. 曲线f（x）＝x⁶+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 设函数f（x）＝ $\frac{e^{x} + 2 s i n x}{1 + x^{2}}$ ，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、多项选择题

5. 设函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ ，则（）．

A、当 $a > 1$ 时， $f (x)$ 有三个零点 B、当 $a < 0$ 时， $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点 C、存在a，b，使得 $x = b$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、存在 $a$ ，使得点 $(1, f (1))$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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6. 设函数f（x）＝（x﹣1）²（x﹣4），则（）

A、x＝3是f（x）的极小值点 B、当0＜x＜1时，f（x）＜f（x²） C、当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0 D、当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）

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三、填空题

7. 若曲线y＝e^x+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝．

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8. 曲线y＝x³﹣3x与y＝﹣（x﹣1）²+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为．

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四、解答题

9. 设函数 $f (x) = x l n x$ .

(1)、求 $f (x)$ 图像上点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq a (x - \sqrt{x})$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{1}, x_{2} \in (0, 1)$ 证明 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq {| x_{1} - x_{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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10. 已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜e^x^﹣1恒成立．

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11. 已知 $f (x) = x + k l n (1 + x)$ 在 $(t, f (t)) (t > 0)$ 处切线为l ．

(1)、若切线l的斜率 $k = - 1$ ，求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、证明：切线l不经过 $(0, 0)$ ；

(3)、已知 $k = 1$ ， $A (t, f (t))$ ， $C (0, f (t))$ ， $O (0, 0)$ ，其中 $t > 0$ ，切线l与y轴交于点B时．当 $2 S_{△ A C O} = 15 S_{△ A B O}$ ，符合条件的A的个数为？
（参考数据： $1.09 < l n 3 < 1.10$ ， $1.60 < l n 5 < 1.61$ ， $1.94 < l n 7 < 1.95$ ）

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - a^{3}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于0，求 $a$ 的取值范围．

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13. 已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x ．

(1)、当a＝﹣2时，求f（x）的极值；

(2)、当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

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14. 已知函数f（x）＝ln $\frac{x}{2 - x}$ +ax+b（x﹣1）³ ．

(1)、若b＝0，且f^'（x）≥0，求a的最小值；

(2)、证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；

(3)、若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．

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15. 记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．

(1)、若f（x）＝x²+1，求M（1）和L（1）；

(2)、若f（x）＝x³﹣3x² ，求证：对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，+∞），且存在a ，使得﹣4∈M（a）．

(3)、已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c ，均有M（﹣c）＝L（c）”．

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16. 对于一个函数 $f (x)$ 和一个点 $M (a, b)$ ，定义 $s (x) = (x - a)^{2} + (f (x) - b)^{2}$ ，若存在 $P (x_{0}, f (x_{0}))$ ，使 $s (x_{0})$ 是 $s (x)$ 的最小值，则称点P是函数 $f (x)$ 到点M的“最近点”.

(1)、对于 $f (x) = \frac{1}{x}$ （x＞0），求证，对于点 $M (0, 0)$ ，存在点P ，使得P是 $f (x)$ 到点M的“最近点”；

(2)、对于 $f (x) = e^{x}$ ， $M (1, 0)$ ，请判断是否存在一个点P ，它是 $f (x)$ 到点M的“最近点”，且直线MP与 $f (x)$ 在点P处的切线垂直；

(3)、已知f（x）存在导函数f^'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M₁（t-1，f（t）-g（t）），点M₂（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M₁与点M₂的“最近点”，试判断f（x）的单调性．

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2024年高考真题分类汇编九 导数在函数中的应用

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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