2024年江苏省常州市中考数学仿真模拟卷

试卷日期：2024-05-09 考试类型：中考模拟

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一、单选题（每题2分，共16分）

1. 下列运算中，计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 ${(a b^{2})}^{2} = a^{5}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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2. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值为0，则x应满足的条件是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x \neq 1$ C、 $x \neq \pm 1$ D、 $x = 1$

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3. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. $\frac{6}{17}$ 的相反数是（）

A、 $\frac{6}{17}$ B、 $\frac{17}{6}$ C、 $- \frac{6}{17}$ D、 $- \frac{17}{6}$

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5. 今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名活动，9天共收集121万个签名，将121万用科学记数法表示为（）

A、1.21×10⁶ B、12.1×10⁵ C、0.121×10⁷ D、1.21×10⁵

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6. 若点 $A (1 - m ， 2)$ 与点 $B (- 1 ， n)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $m + n = （）$

A、2 B、0 C、-2 D、-4

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7. 如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（）

A、 $\frac{A E}{A B} = \frac{A H}{A D}$ B、 $\frac{A E}{A B} = \frac{E H}{H F}$ C、 $\frac{A E}{A B} = \frac{E F}{B C}$ D、 $\frac{A E}{A B} = \frac{H F}{C D}$

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8. 小明同学利用计算机软件绘制了某一函数的图象，如图所示.由学习函数的经验，可以推断这个函数可能是（　　）

A、 $y = \frac{- 3 x}{{(x + 2)}^{2}}$ B、 $y = \frac{- 3 x}{{(x - 1)}^{2}}$ C、 $y = \frac{3 x}{{(x + 1)}^{2}}$ D、 $y = \frac{- 3 (x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

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二、填空题（每题2分，共20分）

9. 当 $x = 3$ 时，二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 的值是.

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10. 分解因式： $a x^{2} - 16 a y^{2} =$ .

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11. 计算：| $\sqrt[3]{8}$ ﹣4|﹣（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣²= ．

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12. 一货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时，则y与x之间的函数关系式是（不必写自变量取值范围）．

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13. 下图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式：．

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14. 小华在如图所示的 $4 \times 4$ 正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是。
（第10题图）

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15. 如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC= $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，CD=3，则AC= ．

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16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为　．

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17. 如图，我国古代建造的闻名中外的赵州石拱桥，若桥拱圆弧的半径长为 $r$ ，拱高为 $h$ ，则桥跨度 $d$ 为（用含r、h的代数式表示）

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18. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 6 ，$ 点 $F$ 是 $B C$ 边上的一个动点，连接 $A F$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A F$ 与点 $G$ ，交射线 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $C G$ ，则 $C G$ 的最小值是

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三、解答题（共10题，共84分）

19. 已知 $x^{2} + x - 1 = 0$ ，求 $\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{2} - x (x + 1)$ 的值．

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20. 解不等式组： ${\begin{matrix} x - 3 (x - 2) \leq 8 \\ x - 1 < \frac{x + 1}{3} \end{matrix}$ ．

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21. 某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛” $($ 满分为 $100$ 分 $) .$ 竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各 $40$ 名学生的成绩，并对数据 $($ 成绩 $)$ 进行了整理、描述和分析 $.$ 下面给出了部分信息．
$a .$ 甲、乙两班各 $40$ 名学生数学成绩的频数分布统计表如下：
成绩
班级
$50 \leq x < 60$
$60 \leq x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
甲
$4$
$11$
$13$
$10$
$2$
乙
$6$
$3$
$15$
$14$
$2$
$($ 说明：成绩 $80$ 分及以上为优秀， $70 ～ 79$ 分为良好， $60 ～ 69$ 分为合格， $60$ 分以下为不合格 $)$
$b .$ 甲班成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：
$70$ ， $70$ ， $70$ ， $71$ ， $72$ ， $73$ ， $73$ ， $73$ ， $74$ ， $75$ ， $76$ ， $77$ ， $78$
$c .$ 甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：
班级
平均分
中位数
众数
甲
$74.2$
$n$
$85$
乙
$73.5$
$76$
$84$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、写出表中 $n$ 的值为．

(2)、在此次测试中，某学生的成绩是 $74$ 分，在他所属班级排在前 $20$ 名，由表中数据可知该学生是班的学生 $($ 填“甲”或“乙” $)$ ，理由是．

(3)、假设学校 $1200$ 名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．

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22. 如图是四张不透明的卡片．除正面分别有数字1、1、2、3 外．其他均相间．将这四张卡肯面朝上洗匀后放置在桌面上．

(1)、小明从中随机抽取一张卡片，恰好得到数字1的概率是．

(2)、小明和小丽恕用这四张卡片做游戏，游戏规则为小明先随机抽取一张卡片，小丽再从余下的卡片中随机抽取一张．如朵两张卡片上的数字和为奇数，小明胜；和为偶数，小丽胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．

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23. 在菱形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别为 $A D ， A B$ 上的点，且 $A E = A F$ ，连接并延长 $E F$ ，与 $C B$ 的延长线交于点 $G$ ，连接 $B D$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $E G B D$ 是平行四边形；

(2)、如图2，连接 $A G$ ，若 $G B = A E$ ，请直接写出长为线段 $F B$ 长2倍的线段．

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24. 园林部门计划在公园建一个如图（甲）所示的长方形花圃 $A B C D$ ，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成， $B C = 2 A B$ ，建成后所用木栏总长120米，在图（甲）总面积不变的情况下，在花圃内部设计了一个如图（乙）所示的正方形网红打卡点和两条宽度相等的小路，其中，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的 $\frac{1}{4}$ ，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米.

(1)、求长方形 $A B C D$ 花圃的长和宽；

(2)、求出网红打卡点的面积.

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25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于二四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点B的坐标为（6，n），线段OA=5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE= $\frac{4}{5}$ ．

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、求△AOC的面积；

(3)、直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．

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26. 【温故知新】在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明结合图1给出如下证明思路：作 $C F ∥ A D$ 交 $D E$ 的延长线于点 $F$ ，再证 $△ A D E ≌ △ C F E$ ，再证四边形 $D B C F$ 是平行四边形，即可证明定理。
图1 图2 图3 图4

(1)、【新知体验】小明思考后发现：作平行线可以构成全等三角形或平行四边形，以达到解决问题的目的.如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A C ⊥ B D$ ，若 $A C = 3$ ， $B D = 4$ ， $A D = 1$ ，则 $B C$ 的值为

(2)、【灵活运用】如图3，在矩形 $A B C D$ 和 $□ A B E F$ 中，连接 $D F$ 、 $A E$ 交于点 $G$ ，连接 $D B$ 。若 $A E = D F = D B$ ，求 $∠ F G E$ 的度数；

(3)、【拓展延伸】如图4在第（2）题的条件下，连接 $B F$ ，若 $A B = A D = 4 \sqrt{2}$ ，求 $△ B E F$ 的面积

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27.
如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，抛物线y=x²的顶点在直线AO上运动，与直线x=2交于点P，设平移后的抛物线顶点M的横坐标为m．
（1）如图1，若m=﹣1，求点P的坐标；
（2）在抛物线平移的过程中，当△PMA是等腰三角形时，求m的值；
（3）如图2，当线段BP最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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28.

(1)、【证明体验】
如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC ，在 $\hat{A C}$ 上取一点P ，连结AP ， BP ， CP ．求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；

(2)、【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点P为 $\hat{A C}$ 的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E ，且∠ABP＝∠E ，求AP•PE的值．

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班级	平均分	中位数	众数
甲	$74.2$	$n$	$85$
乙	$73.5$	$76$	$84$