2024年中考数学精选压轴题之相似三角形

试卷日期：2024-05-09 考试类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE ．将△ADE沿AE对折至△AFE ，延长EF交边BC于点G ，连接AG、CF ．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S_△_FGC=3．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A D = 5$ ． $O A : O D = 1 : 4$ ，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $O E$ 折叠到如图所示的位置，线段 $O D_{1}$ 恰好经过点 $B$ ，点 $C$ 落在 $y$ 轴的点 $C_{1}$ 位置，点 $E$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A、 $(1, 2)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(\sqrt{5} - 1$ ， $2)$ D、 $(1 - \sqrt{5}$ ， $2)$

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3. 如图，已知AB=AC ， ∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°， $\frac{B D}{C D}$ = $\frac{7}{3}$ ，则 $\frac{A D}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，在BC上取点F ，使得CF＝CE ，连结AF交CD于点G ，连结AD ．若CG＝GF ，则 $\frac{B C^{2}}{A D^{2}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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5. 如图，已知平行四边形 $A B C D$ ，点E是 $B A$ 延长线上一点， $C E$ 与 $A D ， B D$ 分别相交于点 $G ， F$ ．则下列关系式成立的是（）

A、 $\frac{E F}{C F} = \frac{C F}{G F}$ B、 $\frac{G D}{B C} = \frac{D F}{D B}$ C、 $\frac{A G}{B C} = \frac{E A}{A B}$ D、 $\frac{D C}{B E} = \frac{E F}{F C}$

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别是 $B C 、 D C$ 边上的两点，且 $∠ E A F = 45 ° ， A E 、 A F$ 分别交 $B D$ 于 $M 、 N$ ．对于下列结论：
① $△ A B N ∽ △ M D A$ ；② $A M \cdot A E = A N \cdot A F$ ；③ $\frac{S_{△ A M N}}{S_{△ A E F}} = \frac{1}{2}$ ；④当 $A B = 1$ 时， $△ A E F$ 面积的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ ．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①②③ D、①②③④

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7. 如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论；
①DE+BF＝EF②BN⊥AE③BF＝ $\frac{8}{3}$ ④S_△_BGF＝ $\frac{16}{15}$ 中正确的是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，点 $E ， F$ 分别在 $C D ， A D$ 边上，且 $Δ B C E$ 与 $Δ B F E$ 关于直线 $B E$ 对称.点 $G$ 在 $A B$ 边上， $G C$ 分别与 $B F ， B E$ 交于 $P ， Q$ 两点.若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{5}$ ， $C E = C Q$ ，则 $\frac{G P}{C Q} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{9}{10}$

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9. 如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S_△CEG＝S_△CBE+S_{四边形CDQH}；③EC平分∠BEG；④EG²﹣CH²＝GQ•GD，正确的是（　　）

A、①③ B、①③④ C、①④ D、①②③④

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二、填空题

10. 在锐角 $△ A B C$ 中，AD ， BE分别为 $△ A B C$ 的中线和角平分线， $A D = B E$ ，且 $A D ⊥ B E$ ，则 $\frac{A C}{B C} =$ .

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11. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作 $E F ⊥ D E$ 交BC于点F ，对角线AC分别交DE ， DF于点G ， H ，当DH⊥AC时，则 $\frac{G H}{E F}$ 的值为．

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 中，M、N分别是 $A D$ 、 $B C$ 边上的点，将四边形 $A B N M$ 沿直线 $M N$ 翻折，使得点A、B分别落在点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 处，且点 $B^{'}$ 恰好为线段 $C D$ 的中点， $A^{'} B^{'}$ 交 $A D$ 于点G ，作 $D P ⊥ M N$ 于点P ，交 $A^{'} B^{'}$ 于点Q ．若 $A G = 8$ ，则 $P Q =$ ．

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为．

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14. 如图， $D E$ 平分等边 $△ A B C$ 的面积，折叠 $△ B D E$ 得到 $△ F D E$ ， $A C$ 分别与 $D F$ ， $E F$ 相交于 $G$ ， $H$ 两点．若 $D G = 1$ ， $E H = \sqrt{3}$ ，则 $G H$ 的长是．

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三、解答题

15. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，若点D在 $B C$ 边上运动时，总保持 $∠ A D E = ∠ B$ ，连接 $C E, D E$ 与 $A C$ 交于点F ．

(1)、①如图1，当点D为 $B C$ 边中点时，则 $\frac{C E}{B C}$ 的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为 $B C$ 边中点时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当点D在 $B C$ 边上运动中恰好使得 $A E ∥ B C$ 时，若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，求 $D F$ 的长．

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16. 如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，使点A，F，E三点共线，得到对应矩形EFCG，连接AF，AC，DG，DE．

(1)、求证：AF＝CG；

(2)、判断DG与AC的位置关系，并说明理由；

(3)、若AB＝3，BC＝4，求tan∠AED的值．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是边 $A C$ 上一动点，E是 $△ A B C$ 外一点，连接 $B D ， B E$ ．

(1)、如图1， $C E ∥ A B$ ， $A D = C E$ ，若 $∠ A B D = \frac{1}{3} ∠ A = 20 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(2)、如图2， $C E ∥ A B$ ， $B D = B E ， ∠ A = 2 ∠ A B D$ ，过点D作 $D F ⊥ A B$ 交于点F ，若 $D E = 2 D F ， ∠ D B C = 3 ∠ C B E$ ，求证： $A B = B D + C E$ ；

(3)、如图3， $A E = A B$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 的延长线于点F ， $B E$ 交 $A C$ 于点G ，点D是直线 $A C$ 上一动点，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折得 $△ H B D$ ，连接 $F H$ ，取 $F H$ 的中点M ，连接 $A M$ ，若 $E F = 2 G C ， A B = B C$ ，当线段 $A M$ 取得最大值时，请直接写出 $\frac{A M}{A B}$ 的值．

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18. 如图1，在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，以点 $M$ 为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ．

(1)、 $△ A O D$ 与 $△ C O B$ 相似吗？为什么？

(2)、如图2，弦 $D E$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ，且 $B P ： D P = 3 ： 2$ ，求 $t a n ∠ E D A$ ；

(3)、如图3，过点 $D$ 作 $⊙ M$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $Q$ ．点 $G$ 是 $⊙ M$ 上的动点，问比值 $\frac{G O}{G Q}$ 是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．

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19. 在 $R t △ A B C$ 中， $A C = 1$ ， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 边上一动点，且 $\frac{A C}{B C} = \frac{1}{n} (n$ 为正整数 $)$ ，在直线 $B C$ 上方作 $△ A D E$ ，使得 $△ A D E$ ∽ $△ A C B$ ．

(1)、如图 $1$ ，在点 $D$ 运动过程中， $△ A C D$ 与 $△ A B E$ 始终保持相似关系，请说明理由；

(2)、如图 $2$ ，若 $n = 2$ ， $M$ 为 $A B$ 中点，当点 $E$ 在射线 $C M$ 上时，求 $C D$ 的长；

(3)、如图 $3$ ，设 $A E$ 的中点为 $P$ ，求点 $D$ 从点 $C$ 运动到点 $B$ 的过程中，点 $P$ 运动的路径长 $($ 用含 $n$ 的代数式表示 $)$ ．

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20. 如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t＞0）

(1)、当点P和点B重合时，线段PQ的长为；

(2)、当点Q和点D重合时，求 $\frac{P E}{Q E}$ 的值；

(3)、当点P在边AD上运动时，如图②，求证： $\frac{P E}{Q E}$ 为定值，并求这个值；

(4)、作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD的重叠部分为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．

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