广东省深圳市龙华外国语高级中学2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试卷

试卷日期：2024-04-22 考试类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与 $\vec{B C}$ 相等的向量为（）

A、 $\vec{B A}$ B、 $\vec{C D}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{O D}$

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2. 下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $2 \vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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4. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则原平面图形的周长为（）

A、4a B、8a C、6a D、 $8 \sqrt{2} a$

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5. 已知复数 $z = \frac{4 + 2 i}{1 - i}$ ，则z的共轭复数为（）

A、 $1 + 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $- 1 - 3 i$

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6. 已知在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若a ， b是方程 $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ 的两个实数根，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，则角C的大小是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $60 °$ 或 $120 °$ D、 $45 °$ 或 $135 °$

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7. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{2}{3} \vec{b}$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度 $A B$ ，在地面上共线的三点 $C$ ， $D$ ， $E$ 处分别测得点 $A$ 的仰角为 $30 °$ ， $45 °$ ， $60 °$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则武灵丛台的高度 $A B$ 约为（）
（参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

A、22m B、27m C、30m D、33m

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知点 $A (1, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (- 1, - 2)$ ，则以A ， B ， C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（）

A、 $(0, - 4)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(2, 1)$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，对于 $△ A B C$ 有如下命题，其中正确的是（）

A、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 B、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积等于 $π$ C、若 $(\frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} + \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |}) \cdot \vec{A C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形 D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

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11. 已知复数 $z_{1} = 2 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 $P_{1}$ ，复数 $z_{2}$ 满足 $| z_{2} - i | = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P_{1}$ 点在复平面上的坐标为 $(2, - 2)$ B、 $\bar{z_{1}} = 2 + 2 i$ C、 $| z_{1} - z_{2} |$ 的最大值为 $\sqrt{13} + 1$ D、 $| z_{1} - z_{2} |$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知x、 $y \in R$ ，若 $(x - 2) + y i = - 1 + i$ ，则 $x + y =$ ．

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13. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $A = 45 °$ ， $C = 30 °$ ， $c = 1$ ，则a等于.

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14. 已知 $| \vec{u} | = 3$ ， $| \vec{v} | = 4$ ，且 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .若 $| \vec{a} | = 1$ ，则当 $t \in [0, 1]$ 时， $| \vec{a} - t \vec{u} - (1 - t) \vec{v} |$ 的取值范围为.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} a = 2 c s i n A$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ，且 $a b = 6$ ，求△ABC的周长．

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16. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (m^{2} - m) + (m^{2} - 1) i$ ， $m \in R$ .

(1)、当复数z为实数时，求m的值；

(2)、当复数z为纯虚数时，求m的值；

(3)、当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围.

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17. 已知O为坐标原点， $A (2, - 3)$ ， $B (8, 1)$ .

(1)、判断 $△ O A B$ 的形状，并给予证明；

(2)、若 $C (11, 3)$ ，求证：A、B、C三点共线；

(3)、若D是线段AB上靠近点A的四等分点，求D的坐标.

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18. 在 $△ O A B$ 中， $| \vec{O A} | = 4$ ， $| \vec{O B} | = 2$ ， P为AB边上一点，且 $\vec{B P} = 2 \vec{P A}$ .

(1)、设 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，求实数x、y的值；

(2)、若 $⟨ \vec{O A}, \vec{O B} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{O P} \cdot \vec{A B}$ 的值；

(3)、设点Q满足 $\vec{O Q} = \frac{3}{4} \vec{O A}$ ，用向量方法证明： $| \vec{P A} | = 2 | \vec{P Q} |$ .

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ， $c o s C = \frac{2 b - c}{2 a}$ .

(1)、求角A；

(2)、设AD是角A的平分线，与BC边交于D ，若 $B D = 5$ ， $C D = 3$ ，求b ， c；

(3)、若 $b = 8$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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