广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

试卷日期：2024-04-22 考试类型：月考试卷

前去【出卷网】下载

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，若 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，则 $a_{2}$ 等于（）

A、9 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

查看试题解析
2. 抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 过点 $(2, 2)$ ，则焦点坐标为（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(\frac{1}{4}, 0)$ C、 $(\frac{1}{2}, 0)$ D、 $(1, 0)$

查看试题解析
3. 有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（）

A、 $A_{3}^{2} \cdot A_{2}^{2}$ 种 B、 $3 A_{2}^{2}$ 种 C、 $2 A_{3}^{3}$ 种 D、 $A_{4}^{4} \cdot A_{2}^{2}$ 种

查看试题解析
4. 曲线 $f (x) = l n x + x$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x - 2 y + 1 = 0$ C、 $2 x - y + 1 = 0$ D、 $x - 2 y - 1 = 0$

查看试题解析
5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公比为3，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2} =$ （）

A、 ${(3 n - 2)}^{2}$ B、 $\frac{1}{2} (3^{n} - 1)$ C、 $9^{n} - 1$ D、 $\frac{1}{8} (9^{n} - 1)$

查看试题解析
6. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（）

A、 $\frac{1}{84}$ B、 $\frac{1}{21}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

查看试题解析
7. 已知某离散型随机变量X的分布列如下：

x

          $- 1$

0

1

2

P

a

b

c

          $\frac{1}{3}$

若 $E (X) = \frac{3}{4}$ ， $P (X \geq 1) = \frac{7}{12}$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{19}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

查看试题解析
8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）

A、152 B、126 C、90 D、54

查看试题解析

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. 下列说法中，正确的命题是（）

A、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 $r$ 的绝对值越接近于1 B、 $E (2 X + 3) = 2 E (X) + 3$ ， $D (2 X + 3) = 2 D (X)$ C、用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好． D、已知随机变 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, δ^{2})$ ， $P (ξ < 3) = 0.8$ ，则 $P (1 < ξ < 3) = 0.2$

查看试题解析
10. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ B、 $| P F_{1} |$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - \sqrt{2} = 0$ 相切

查看试题解析
11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）

A、乙发生的概率为 $\frac{3}{5}$ B、丙发生的概率为 $\frac{3}{5}$ C、甲与丁相互独立 D、丙与丁互为对立事件

查看试题解析

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${(x + 2)}^{10} (x^{2} - 1)$ 的展开式中 $x^{10}$ 的系数为．（用数字作答）

查看试题解析
13. 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 $x$ 轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点 $(2, 0)$ （允许重复过此点）处的概率为．

查看试题解析
14. 已知 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = 2 x$ ，若 $f (m) = g (n)$ ，则 $m - n$ 的最小值为．

查看试题解析

四、解答题：本大题共5小题，共77分．

15. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{e^{x}}$ ，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 有极大值 $\frac{1}{e}$ .

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $f (x) < \frac{x}{1 + x}$ .

查看试题解析
16. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1$ ， $a_{3}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{3} a_{1} + l o g_{3} a_{2} + \cdot \cdot \cdot + l o g_{3} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
17. 已知二项式 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中常数项；

(3)、计算式子 $C_{6}^{0} 2^{6} + C_{6}^{1} 2^{5} + C_{6}^{2} 2^{4} + C_{6}^{3} 2^{3} + C_{6}^{4} 2^{2} + C_{6}^{5} 2^{1} + C_{6}^{6} 2^{0}$ 的值.

查看试题解析
18. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次
直播带货评级
合计
优秀
良好
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α = P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？

(2)、现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数 $X$ 的概率分布和数学期望；

(3)、统计学中常用 $R (B | A) = \frac{P (B | A)}{P (\bar{B} | A)}$ 表示在事件 $A$ 条件下事件 $B$ 发生的优势，称为似然比，当 $R (B | A) \geq 1.35$ 时，我们认为事件 $A$ 条件下 $B$ 发生有优势．现从这200人中任选1人， $A$ 表示“选到的主播带货良好”， $B$ 表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计 $R (B | A)$ 的值，并判断事件 $A$ 条件下 $B$ 发生是否有优势．

查看试题解析
19. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）经过点 $A (3, 2)$ ，其右焦点为 $F$ ，且直线 $y = 2 x$ 是 $C$ 的一条渐近线．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $M (m, n)$ 是 $C$ 上任意一点，直线 $l$ ： $\frac{m x}{a^{2}} - \frac{n y}{b^{2}} = 1$ ．证明： $l$ 与双曲线 $C$ 相切于点 $M$ ；

(3)、设直线 $P T$ 与 $C$ 相切于点 $T$ ，且 $\vec{F P} \cdot \vec{F T} = 0$ ，证明：点 $P$ 在定直线上．

查看试题解析

主播的学历层次	直播带货评级		合计
主播的学历层次	优秀	良好
本科及以上	60	40	100
专科及以下	30	70	100
合计	90	110	200

x	$- 1$	0	1	2
P	a	b	c	$\frac{1}{3}$

$α = P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828