广东省东莞市虎门外语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

试卷日期：2024-04-22 考试类型：月考试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z_{1} = (m^{2} - 1) + (m^{2} + 2 m - 3) i ， z_{2} = m + \sqrt{3} i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $m \in R$ ，若 $z_{1}$ 为纯虚数，则下列说法正确的是（）

A、 $m = \pm 1$ B、复数 $z_{2}$ 在复平面内对应的点在第一象限 C、 $| z_{2} | = 2$ D、 ${| z_{1} |}^{2} = {| z_{2} |}^{2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, t)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、5

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3. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $A = 60 °$ ，则 $B$ 为（）

A、60° B、60°或120° C、30° D、30°或150°

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4. 若 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为150°，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$

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5. 如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC＝2， $S_{△ A B C} = 1$ ， A为锐角，侧棱PA＝PB＝PC＝2，一只小虫从A点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到A点，则小虫爬行的最短距离为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$

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6. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D在线段BC上，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， E为线段AD上一点，若 $△ A B E$ 与 $△ A C D$ 的面积相等，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{7}{6} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{11}{12} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ C、 $\frac{5}{6} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $- \frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$

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7. 设P为 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A P} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B P$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 如图ABCDEF为五面体，其中四边形ABCD为矩形， $E F / / A B$ ，
$A B = 3 E F = \frac{3}{2} A D = 3$ ， $△ A D E$ 和 $△ B C F$ 都是正三角形，则该五面体的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，原点为 $O$ ， $i$ 为虚数单位，下列说法正确的是（）

A、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ B、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ C、若 $z = - 3 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + q = 19$ D、若 $1 \leq | z - 2 i | \leq \sqrt{2}$ ，则点 $Z$ 的集合所构成的图形的面积为 $π$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a^{2} + c^{2} - b^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ C、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $c = 2 a c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{2}, \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 9$ ，且 $c o s C = \frac{4}{5}$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，设 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} = m$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $S_{△ A B C} = 12$ B、若 $m = 14$ ，则 $| A P |$ 的最小值为2 C、若 $m = \frac{11}{4}$ ，设 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$ D、若 $P$ 在 $△ A B C$ 内部（不含边界），且 $S_{△ P A C} = 2$ ，则 $m$ 的取值范围是 $(- 6, - 2]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $z_{1} = 1 - i ， z_{2} = \bar{z_{1}} (3 + i)$ （i为虚数单位， $\bar{z_{1}}$ 是 $z_{1}$ 的共轭复数），则 $| z_{2} | =$

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13. 如图，为了测量河对岸的塔 $A B$ 的高度，某人选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $C D = 30 m$ ； $∠ B C D = 3 0^{∘}, ∠ B D C = 10 5^{∘}$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $4 5^{∘}$ ，则塔高 $A B =$ $m$ .

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14. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $P$ 是腰 $A D$ 上的动点，则 $| 2 \vec{P B} - \vec{P C} |$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D$ 为角平分线，D在线段BC上.

(1)、求AD的长度；

(2)、过点D作直线交AB、AC于不同点E、F ，且 $\vec{A E} = x \cdot \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = y \cdot \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的值

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16. 将形如 $| \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} |$ 的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下： $| \begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ．已知两个不共线的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $| \vec{a} | = 6$ ， $| \vec{b} | = t$ （其中 $t > 0$ ），且 $| \begin{array}{l} t & \sqrt{2} s i n \frac{π}{4} \\ 2 c o s \frac{π}{3} & 1 \end{array} | = 1$ ．

(1)、若 $θ$ 为钝角，试探究 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 5 \vec{b}$ 能否垂直？若能，求出 $c o s θ$ 的值；若不能，请说明理由；

(2)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，当 $k > 0$ 时，求 $| \vec{a} - 4 k \vec{b} |$ 的最小值并求出此时 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 4 k \vec{b}$ 的夹角．

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17. 如图，斜坐标系 $x O y$ 中， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为120°，定义向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ 在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标为有序数对 $(x ， y)$ ，在斜坐标系 $x O y$ 中完成下列问题：

(1)、若向量 $\vec{O P}$ 的坐标为（2，3），计算 $| \vec{O P} |$ 的大小；

(2)、若向量 $\vec{O M}$ 的坐标为 $(x_{1} ， y_{1})$ ，向量 $\vec{O N}$ 的坐标为 $(x_{2} ， y_{2})$ ，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①：若 $\vec{O M} // \vec{O N}$ ，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ ；命题②：若 $\vec{O M} ⊥ \vec{O N}$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ .

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18. 在路边安装路灯，灯柱 $A B$ 与地面垂直（满足 $∠ B A D = 90 °$ ），灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所在平面与道路垂直，且 $∠ A B C = 120 °$ ，路灯 $C$ 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 $∠ A C D = 60 °$ ，路宽 $A D = 12 m$ ．设灯柱高 $A B = h (m)$ ， $∠ A C B = θ (30 ° \leq θ \leq 45 °)$ ．

(1)、当 $θ = 30 °$ 时，求四边形 $A B C D$ 的面积；

(2)、求灯柱的高 $h$ （用 $θ$ 表示）；

(3)、若灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所用材料相同，记此用料长度和为 $S$ ，求 $S$ 关于 $θ$ 的函数表达式，并求出 $S$ 的最小值．

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19. 在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， S为 $△ A B C$ 的面积，且 $2 S = a^{2} - (b - c)^{2}$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、求 $\frac{b^{2} + c^{2}}{b c}$ 的取值范围．

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