广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（一）数学试卷

试卷日期：2024-04-22 考试类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {1, 3, a^{2}}, B = {1, a + 2}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、-2 D、-1

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2. 已知复数 $z$ 满足 $| z - 3 + 4 i | = 1$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} a_{5} = 2 a_{2} a_{4}$ ，则 $\frac{S_{4}}{S_{2}} =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上､下底面边长分别为1和2，且 $B B_{1} ⊥ D D_{1}$ ，则该棱台的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{7}{2}$

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5. 设 $B, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点和上焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $\vec{B F_{2}} = 2 \vec{F_{2} P}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{65}}{13}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = s i n (t a n x)$ B、 $f (x) = t a n (s i n x)$ C、 $f (x) = c o s (t a n x)$ D、 $f (x) = t a n (c o s x)$

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7. 已知 $a = \frac{3}{2}, 3^{b} = 5, 5^{c} = 8$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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8. 已知 $α, β$ 是函数 $f (x) = 3 s i n (2 x + \frac{π}{6}) - 2$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的两个零点，则 $c o s (α - β) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{15} - 2}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{5}}{6}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 平分 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量相等 D、 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$

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10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件 $B$ 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (B) = \frac{11}{50}$ C、 $P (B ∣ A_{1}) = \frac{9}{50}$ D、 $P (A_{2} ∣ B) = \frac{2}{11}$

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11. 已知直线 $y = k x$ 与曲线 $y = l n x$ 相交于不同两点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ ，曲线 $y = l n x$ 在点 $M$ 处的切线与在点 $N$ 处的切线相交于点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，则（）

A、 $0 < k < \frac{1}{e}$ B、 $x_{1} x_{2} = e x_{0}$ C、 $y_{1} + y_{2} = 1 + y_{0}$ D、 $y_{1} y_{2} < 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，当 $\frac{S_{n} + 9}{a_{n}}$ 取最小值时， $n =$ .

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13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 $W$ （单位：克）与脉搏率 $f$ （单位：心跳次数/分钟 $)$ 的对应数据 $(W_{i}, f_{i}) (i = 1, 2, ⋯, 8)$ ，根据生物学常识和散点图得出 $f$ 与 $W$ 近似满足 $f = c W^{k} (c, k$ 为参数 $)$ .令 $x_{i} = l n W_{i}, y_{i} = l n f_{i}$ ，计算得 $\bar{x} = 8, \bar{y} = 5, \sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2} = 214$ .由最小二乘法得经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 7.4$ ，则 $k$ 的值为；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值 ${\hat{y}}_{i} (i = 1, 2, ⋯, 8)$ ，若残差平方和 $\sum_{i = 1}^{8} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} \approx 0.28$ ，则决定系数 $R^{2} \approx$ .（参考公式：决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ .）

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14. 已知曲线 $C$ 是平面内到定点 $F (0, - 2)$ 与到定直线 $l : y = 2$ 的距离之和等于6的点的轨迹，若点 $P$ 在 $C$ 上，对给定的点 $T (- 2, t)$ ，用 $m (t)$ 表示 $| P F | + | P T |$ 的最小值，则 $m (t)$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应马出文字说明､证明过程或璌算步骤.

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ .已知 $S = - \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $∠ A B D = \frac{π}{2}, A D = 2 D C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $△ D C P$ 是等边三角形， $∠ D C B = ∠ P C B = \frac{π}{4}$ ，点 $M, N$ 分别为 $D P$ 和 $A B$ 的中点

(1)、求证： $M N$ $∥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、求 $C M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = c o s x + x s i n x, x \in (- π, π)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极小值；

(2)、证明：当 $x \in [0, π)$ 时， $2 f (x) \leq e^{x} + e^{- x}$ .

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18. 已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为4，且经过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，求 $| A B |$ 的取值范围；

(3)、已知点 $P$ 是 $C$ 上的动点，是否存在定圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，使得当过点 $P$ 能作圆 $O$ 的两条切线 $P M, P N$ 时（其中 $M, N$ 分别是两切线与 $C$ 的另一交点），总满足 $| P M | = | P N |$ ？若存在，求出圆 $O$ 的半径 $r$ ；若不存在，请说明理由.

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19. 某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 $n (n \geq 3, n \in N^{*})$ 位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知 $A$ 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{2}$ ，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.

(1)、若 $n = 3$ ，用 $X$ 表示 $A$ 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求 $X$ 的均值；

(2)、记 $A$ 团队第 $k (1 \leq k \leq n - 1, k \in N^{*})$ 位成员上场且闯过第二关的概率为 $p_{k}$ ，集合 ${k \in N^{*} | p_{k} < \frac{3}{128}}$ 中元素的最小值为 $k_{0}$ ，规定团队人数 $n = k_{0} + 1$ ，求 $n$ .

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