2022年浙教版数学八下复习阶梯训练：反比例函数（优生集训）2

试卷日期：2022-04-22 考试类型：复习试卷

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一、综合题

1. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象经过点C，交AB于D，已知OC＝12，OA＝4 $\sqrt{3}$ ，∠AOC＝60°

(1)、求反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的函数表达式；

(2)、连结CD，求△BCD的面积；

(3)、P是线段OC上的一个动点，以AP为一边，在AP的右上方作正方形APEF，在点P的运动过程中，是否存在一点P使顶点E落在▱OABC的边所在的直线上，若存在，请求出此时OP的长，若不存在，请说明理由．

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2. 八年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究．
第一学习小组发现：如图(1)，点A、点B在直线l₁上，点C、点D在直线l₂上，若l₁∥l₂ ，则S_△ABC=S_△ABD；反之亦成立．
第二学习小组发现：如图(2)，点P是反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，则矩形OMPN的面积为定值|k|．请利用上述结论解决下列问题：

(1)、如图(3)，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，点E在CD上，正方形ABCD边长为2，则S_△BDF= ．

(2)、如图(4)，点P、Q在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 图象上，PQ过点O，过P作y轴的平行线交x轴于点H，过Q作x轴的平行线交PH于点G，若S_△PQG=8，则S_△POH= ， k= ．

(3)、如图(5)点P、Q是第一象限的点，且在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 图象上，过点P作x轴垂线，过点P作y轴垂线，垂足分别是M、N，试判断直线PQ与直线MN的位置关系，并说明理由．

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3. 如图，在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，AB⊥y轴，垂足为A．反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．

(1)、若OA＝8，求k的值；

(2)、若CB＝BD，求点C的坐标．

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4. 在直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ ，过点 $A (3 ， 4)$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.

(2)、求当 $y ⩾ 2$ 时，自变量 $x$ 的取值范围.

(3)、在 $x$ 轴上有一点 $P (1 ， 0)$ ，在反比例函数图象上有一个动点 $Q$ ，以 $P Q$ 为一边作一个正方形 $P Q R S$ ，当正方形 $P Q R S$ 有两个顶点在坐标轴上时，画出状态图并求出相应 $S$ 点坐标.

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5. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= $\frac{m}{x}$ 与y= $\frac{n}{x}$ (x>0，0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4

(1)、当m=4，n=20时
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式

②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由

(2)、四边形ABCD能否成为正方形?若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由.

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6. 如图，直线 $y = - 2 x + 2$ 与x轴y轴分别相交于点A和点B.

(1)、直接写出坐标：点A ，点B.

(2)、以线段AB为一边在第一象限内作正方形ABCD.
则：①顶点D的坐标是 ▲ ，

②若点D在双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上，试探索：将正方形ABCD沿X轴向左平移多少个单位长度时，点C恰好落在该双曲线上.

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7. 如图1，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $C (2 ， n) ， D (h ， - 1)$ )两点与x轴，y轴分别交于A、B(0，2)两点，如果 $Δ AOC$ 的面积为6.

(1)、求点A的坐标；

(2)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(3)、如图2，连接DO并延长交反比例函数的图象于点E，连接CE，求点E的坐标和 $Δ COE$ 的面积

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8. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点A（1，4）和点B．过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连结AB、BC、DC、DA．点B的横坐标为a（a＞1）

(1)、求k的值

(2)、若△ABD的面积为4；
①求点B的坐标，

②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E的坐标．

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9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（ $- 3$ ， $\frac{3}{2}$ ），AB=1，AD=2．

(1)、直接写出B、C、D三点的坐标；

(2)、将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，得矩形A′B′C′D′．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．

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10. 如图，函数 $y_{1} = k_{1} x + b$ 的图像与函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图像交于 $A 、 B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，已知 $A$ 点的坐标为 $(2 ， 1) ， C$ 点的坐标为 $(0 ， 3)$ ．

(1)、求函数 $y_{1}$ 的表达式和 $B$ 点的坐标；

(2)、观察图像，当 $x > 0$ 时，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小；

(3)、连结 $O A 、 O B$ ，求 $△ O A B$ 的面积．

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11. 如图，正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数y= $\frac{k}{x}$ （k<0，x<0）的图象上，点P（m，n）是函数y= $\frac{k}{x}$ （k<0，x<0）的图象上异于B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．

(1)、设矩形OEPF的面积为S₁ ，求S₁；

(2)、从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S₂ ．写出S₂与m的函数关系式，并标明m的取值范围．

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12. （如图，四边形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，其四个顶点分别在反比例函数y₁＝ $\frac{n}{x}$ 与y₂＝ $\frac{4 n}{x}$ 的图象上，对角线AC⊥BD于点P，AC⊥x轴于点N（2，0）

(1)、若CN＝ $\frac{1}{2}$ ，试求n的值；

(2)、当n＝2，点P是线段AC的中点时，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

(3)、直线AB与y轴相交于E点．当四边形ABCD为正方形时，请求出OE的长度．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 的四个顶点分别在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 与 $y = \frac{n}{x} (x > 0 ， 0 < m < n)$ 的图象上，对角线 $B D / / y$ 轴，且 $B D ⊥ A C$ 于点 $P$ ．已知点 $B$ 的横坐标为4．

(1)、当m=4，n=20时．
①若点 $P$ 的纵坐标为2，求直线 $A B$ 的函数表达式．

②若点 $P$ 是 $B D$ 的中点，试判断四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由．

(2)、四边形 $A B C D$ 能否成为正方形？若能，求此时 $m$ ， $n$ 之间的数量关系；若不能，试说明理由．

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）.若反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ （x＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F.设直线EF的解析式为y₂=k₂x+b.

(1)、求反比例函数和直线EF的解析式；
（温馨提示：平面上有任意两点M（x₁ ， y₁）、N（x₂ ， y₂），它们连线的中点P的坐标为（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} ， \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ））

(2)、求△OEF的面积；

(3)、请结合图象直接写出不等式k₂x -b﹣ $\frac{k_{1}}{x}$ ＞0的解集.

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15. 如图，点P是函数y $= \frac{2}{x}$ 上第一象限上一个动点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，0）.

(1)、连结PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t.请写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

(2)、阅读下面的材料回答问题
阅读材料：当a>0时， $a + \frac{1}{a} = {(\sqrt{a})}^{2} - 2 + {(\frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} + 2 = {(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} + 2 \geq 2$

因为 ${(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} \geq 0 ，$ 当 $\sqrt{a} = \frac{1}{\sqrt{a}}$ ，即a=1时， ${(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} = 0 ，$

所以a=1时， $a + \frac{1}{a}$ 有最小值为2.

根据上述材料在（1）中研究当t为何值时△PAB的面积S有最小值，并求出S的最小值.

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16. 如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，且B，C在x轴的负半轴上，E是DC的中点，反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ （x＜0）的图象经过点E，与AB交于点F.

(1)、若点B坐标为（﹣6，0），求m的值；

(2)、若AF﹣AE＝2.且点E的横坐标为a.则点F的横坐标为（用含a的代数式表示），点F的纵坐标为，反比例函数的表达式为.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ $- \frac{4}{3}$ x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点C、D，四边形ABCD是正方形，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图像在第一象限经过点A.

(1)、求点A的坐标以及k的值：

(2)、点P是反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图像上一点，且△PAO的面积为21，求点P的坐标.

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18. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图像交于A(2，4)，B(-4，n)两点，交x轴于点C.

(1)、求m、n的值；

(2)、请直接写出不等式kx+b＜ $\frac{m}{x}$ 的解集；

(3)、将x轴下方的图像沿x轴翻折，点B落在点B′处，连接AB′、B′C，求△A B′C的面积.

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19. 如图，直线 $l$ ：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线 $l$ 对称.反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线 $l$ 于M、N两点.

(1)、求 $∠ A B O$ 的度数

(2)、求反比例函数的解析式；

(3)、求AN•BM的值.

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20. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A ， C$ 分别在 $x ， y$ 轴的正半轴上，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的第一象限内的图像上， $O A = 4 ， O C = 3$ ，动点 $P$ 在 $x$ 轴的上方，且满足 $S_{Δ P A O} = \frac{1}{3} S_{矩形 O A B C}$ .

(1)、若点 $P$ 在这个反比例函数的图象上，求点 $P$ 的坐标；

(2)、连接 $P O ， P A$ ，求 $P O + P A$ 的最小值；

(3)、若点 $Q$ 是平面内一点，使得以 $A ， B ， P ， Q$ 为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点 $Q$ 的坐标.

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与直线 $y = x - 2$ 交于点A(3，m).

(1)、求k、m的值；

(2)、已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于 $x$ 轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点N.
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

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22.

(1)、探究新知：如图1，已知 $△ A B C$ 与 $△ A B D$ 的面积相等，试判断 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系，并说明理由.

(2)、结论应用：
①如图2，点 $M$ ， $N$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图像上，过点 $M$ 作 $M E ⊥ y$ 轴，过点 $N$ 作 $N F ⊥ x$ 轴，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，连接 $E F$ .试证明： $M N ∥ E F$ .

②若①中的其他条件不变，只改变点 $M$ ， $N$ 的位置如图3所示，请画出图形，判断 $M N$ 与 $E F$ 的位置关系并说明理由.

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23. 如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ $\frac{m}{x}$ 的图象交于M、N两点.

(1)、根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、连结OM、ON，求△MON的面积；

(3)、根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.

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24. 如图，已知反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 的图象关于 $y$ 轴对称， $A (1 ， 4)$ ， $B (4 ， m)$ 是函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 图象上的两点，连接 $A B$ ，点 $C (- 2 ， n)$ 是函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 图象上的一点，连接 $A C$ ， $B C$ .

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、求 $A B$ 所在直线的表达式；

(3)、求 $Δ A B C$ 的面积.

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25. 如图，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ (m $\neq$ 0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点.过点B作BD⊥x轴，垂足为D，若OB=5，OD=3，且点A的横坐标为-4.

(1)、求该反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、求△AOC的面积.

(3)、直接写出满足 $k x + b \geq \frac{m}{x}$ 的x的取值范围.

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26. 如图，已知一次函数y= $\frac{1}{2}$ x+b的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

(1)、当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；

(2)、当 $\frac{1}{2} x + b < \frac{k}{x}$ 时，请直接写出x的取值范围．

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