2022年浙教版数学八下期末复习阶梯训练：特殊平行四边形（优生集训）

一、综合题

试卷日期：2022-04-15 考试类型：复习试卷

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$x_{n}^{'}$

$y_{n}^{'}$

1. 如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知四边形 $A O C D$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $y$ 轴和 $x$ 轴上.直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 6$ 经过点 $A$ ，与 $a$ 轴交于点 $E$ .已知 $∠ D = 90 °$ ， $∠ O A D = 120 °$ ， $E C = 4 \sqrt{3}$ . $C F$ 平分 $∠ O C D$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，点 $P$ 是线段 $C F$ 上一动点.

(1)、求 $A E$ 的长和 $∠ A E O$ 的度数；

(2)、若点 $G$ 是平面内任意一点，当以 $E$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $G$ 为顶点的四边形为菱形时，求点 $G$ 的坐标；

(3)、如图2，在线段 $A E$ 上有一动点 $Q$ ，点 $P$ 与点 $Q$ 分别同时从点 $C$ 和点 $A$ 出发，已知当点 $P$ 从点 $C$ 匀速运动至点 $F$ 时，点 $Q$ 恰好从点 $A$ 匀速运动至点 $E$ ，连结 $P Q$ 、 $P D$ 、 $Q F$ .问：在运动过程中，是否存在这样的点 $P$ 和点 $Q$ ，使得 $Δ P F Q$ 的面积与 $Δ P D Q$ 的面积相等.若存在，请直接写出相应的点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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2. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} ： y = - x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B ，$ 与直线 $l_{2}$ 交于点 $C (m ， 3)$ ，直线 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $D (- 2 ， 0)$ .

(1)、求直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、如图2，点 $P$ 在线段 $C D$ 上，连接 $A P ， 3 S_{Δ A P D} = 2 S_{Δ A C D}$ ，过点 $P$ 的直线交 $x$ 轴负半轴于点 $M ，$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $N$ ，请问： $\frac{1}{3 M Q} + \frac{1}{2 N O}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

(3)、 $∴$ $\frac{1}{3 M O} + \frac{1}{2 N O} = \frac{1}{3 \times (\frac{4}{3} + \frac{2}{k})} + \frac{1}{2 \times (\frac{4}{3} k + 2)} = \frac{1}{4 + \frac{6}{k}} + \frac{1}{\frac{8}{3} k + 4} = \frac{1}{\frac{4 k + 6}{k}} + \frac{1}{\frac{8 k + 12}{3}} = \frac{k}{4 k + 6} + \frac{3}{8 k + 12} = \frac{2 k + 3}{8 k + 12} = \frac{1}{4}$ 当点 $E$ 在直线 $l_{1}$ 上运动时，平面内是否存在一点 $F$ ，使得以点 $C 、 D 、 E 、 F$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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3. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F.AE与BF交于G.

(1)、延长DC到H，使CH＝DE，连接BH.求证：四边形ABHE是矩形.

(2)、在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD.

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4. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：y＝x+6交x轴于点A，交y轴于点B，经过点B的直线l₂：y＝kx+b交x轴于点C，且l₂与l₁关于y轴对称.

(1)、求直线l₂的函数表达式；

(2)、点D，E分别是线段AB，AC上的点，将线段DE绕点D逆时针α度后得到线段DF.
①如图2，当点D的坐标为（﹣2，m），α＝45°，且点F恰好落在线段BC上时，求线段AE的长；

②如图3，当点D的坐标为（﹣1，n），α＝90°，且点E恰好和原点O重合时，在直线y＝3﹣ $\sqrt{13}$ 上是否存在一点G，使得∠DGF＝∠DGO？若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

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5. 已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F.

(1)、如图1，求证：FB＝ED；

(2)、点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF.
①如图2，求∠GFA的度数；

②如图3，过点G作MH $/ /$ AE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H.若AB＝3，BF＝1，求MH的长.

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6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是矩形，已知点B坐标为（10，8），M，N分别是OC，AB的中点．

(1)、求证：四边形BCMN是矩形；

(2)、点F是直线BC上一点，连接OF交直线MN于点E，当OF＝OA时，求直线AF的解析式；

(3)、在（2）的条件下，直线l经过点A，且解析式为y＝kx+b（k≠0），若直线l与线段EM相交，求k的取值范围．

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7. 如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD ， BC交于M ， N两点，连接CM ， AN ．

(1)、求证：四边形ANCM为平行四边形；

(2)、若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC ，求DM的长．

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8. 阅读短文，解决问题
定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”﹒例如：如图1，四边形 $A E F D$ 为菱形， $∠ B A C$ 与 $∠ D A E$ 重合，点 $F$ 在 $B C$ 上，则称菱形 $A E F D$ 为 $Δ A B C$ 的“亲密菱形”．

如图2，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $F D / / A C$ ， $E F / / A B$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 为 $Δ A B C$ 的“亲密菱形”；

(2)、若 $A C = 12$ ， $F C = 2 \sqrt{6}$ ，求四边形 $A E F D$ 的周长；

(3)、如图3， $M$ 、 $N$ 分别是 $D F$ 、 $A C$ 的中点，连接 $M N$ ．若 $M N = 3$ ，求 $A D^{2} + C F^{2}$ 的值．

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9. 如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= $\frac{1}{n}$ AD（n为大于2的整数），连接BE，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG。

(1)、试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；

(2)、当AB=4，n=3时，求FG的长；

(3)、记四边形BFEG的面积为S₁ ，矩形ABCD的面积为S₂ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{17}{30}$ 时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）。

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10. 如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=- $\frac{1}{2}$ +x+6分别与x轴、轴交于点B、C，且与直线l₂：y= $\frac{1}{2}$ x交于A。

(1)、分别求出A、B、C的坐标；

(2)、若D是线段OA上的点，且△COD的面积为l₂ ，求直线CD的函数表达式；

(3)、在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

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11. 如图1，直线

y = (- n - 1) x + 2 n + 2 (n > 0)

与y轴交于点

A_{n} (x_{n} ， y_{n})

，与x轴交于点

B_{n} (x_{n}^{'} ， y_{n}^{'})

(1)、按题意填表：

(2)、由（1）中表格中的数据可以发现：

①对于 $A_{n} (x_{n} ， y_{n})$ ， $\bar{x}$ = ， $\bar{y}$ = ， $S_{x}^{2} =$ ， $S_{y}^{2} =$ ；

②直线 $y = (- n - 1) x + 2 n + 2 (n > 0)$ 一定经过的点的坐标为；

(3)、如图2，正方形OPQR是△

O A B

的内接正方形，设正方形的边长为m ，

求证：1＜m＜2.

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12. 在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（点E、F、G不与正方形的顶点重合），BE，FG相交于点O，且FG⊥BE.

(1)、猜想BE与FG的数量关系并证明；

(2)、证明：DG=AF+AE；

(3)、若AE= $\sqrt{3}$ ，FG=4，请直接写出点C到直线BE的距离；

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13. 如图，已知 $△ A B C$ ，直线 $P Q$ 垂直平分 $A C$ ，与边 $A B$ 交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，过点 $C$ 作 $C F // B A$ 交 $P Q$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、求证： $△ A E D ≌ △ C F D$ ；

(2)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(3)、若 $E D = 6$ ， $A E = 10$ ，则菱形 $A E C F$ 的面积是多少？

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14. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC、CE于点F、G

(1)、求证：CE=DF；

(2)、若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为， CG+DG的长为

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15. 如图，在矩形ABCD中，AB =2，E、F分别是边BC，AD上的点，连接EF，将四边形CEFD沿EF折叠，C、D的对应点分别为点G、H，EG交边AD于点M，延长HF交边BC于点N

(1)、求证：四边形EMFN是菱形；

(2)、若FN⊥BC，直接写出四边形EMFN的一条对角线的长；

(3)、若EF=MF，求EN的长

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16. 如图①，四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上一点，连接AE、CE

(1)、求证：AE=CE；

(2)、如图②，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，点O为BP的中点，连接OE。若∠PBC=30°，求∠POE的度数；

(3)、在(2)的条件下，若OE= $\sqrt{2}$ ，求CE的长。

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17. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， B C = 5 \sqrt{3} ， ∠ C = 30 °$ ，点D从点C出发沿 $C A$ 方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿 $A B$ 方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止运动．设点 $D ， E$ 运动的时间为t秒（ $t > 0$ ）．过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点F，连接 $D E ， E F$ ．

(1)、求证： $A E = D F$ ；

(2)、四边形 $A E F D$ 可能成为菱形吗？如果可能，求出相应的t值；如果不可能，说明理由．

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18. 如图：在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上，连接BE、 $C E$ ，若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $E C$ 平分 $∠ D C B$ ，点G是 $B C$ 边的中点．

(1)、求 $∠ B E C$ 的度数．

(2)、若 $A E = 5$ ， $C E = 6$ ，求 $△ B E C$ 的周长．

(3)、判断四边形 $A B G E$ 的形状并证明．

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19. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．

(1)、求证： △ABE≌△CDF ；

(2)、当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.

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20. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．

(1)、如图1，若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长及面积；

(2)、如图2，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；

(3)、如图3，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S₁和S₂ ，求S₁﹣S₂的值．

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21. 如图，四边形ABCD为菱形，P为对角线BD上一点，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC．

(1)、求证：∠AEB＝∠PCD；

(2)、当PA＝PD且PC⊥BE时，求∠ABC的度数；

(3)、若∠ABC＝90°，△PCE是等腰三角形．直接写出∠PEC的度数．

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG，如图1所示．

(1)、证明平行四边形ECFG是菱形；

(2)、若∠ABC＝120°，连接BG、CG、DG，如图2所示，
①求证：△DGC≌△BGE；

②求∠BDG的度数；

(3)、若∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝14，M是EF的中点，如图3所示，求DM的长．

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23. 如图所示的是与菱形有关的三个图形．

(1)、如图1，AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD上的中点，连接AE、EF、AF．若AC＝3，则CE+CF的长为．

(2)、如图2，在菱形ABCD中，∠B＝60°．E是边BC上的点，连接AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD于点F，连接EF．若BC＝3，求CE+CF的长．

(3)、在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是边BC延长线上的点，连接AE，作∠EAF＝60°，边AF交边CD的延长线于点F，连接EF．当BC＝3，EF⊥BC时，在图3中，将图形补充完整并求△AEF的周长．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，过点 $C$ 的直线MN//AB， $D$ 为 $A B$ 边上一点，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为点 $F$ ，交直线 $M N$ 于点 $E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $C E = A D$ ；

(2)、当 $D$ 为 $A B$ 中点时，四边形 $B E C D$ 是什么特殊四边形?说明你的理由；

(3)、在（ $2$ ）的条件下，当 $∠ A$ 的大小满足什么条件时，四边形 $B E C D$ 是正方形?请说明你的理由．

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25. 请认真完成下列数学活动
典例再现：如图1，▱ABCD的对线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．

(1)、尝试发现
按图1填空：
①若▱ABCD的周长是24，OE＝2，则四边形ABFE的周长为；
②若▱ABCD的面积是20，则四边形ABFE的面积是．

(2)、应用发现
如图2，在菱形ABCD中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若AC＝ $4 \sqrt{3}$ ， AD＝6，求四边形ABFE的面积．

(3)、应用拓展
如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，若∠BAD＝90°，AB＝2，AC＝ $2 \sqrt{5}$ ，则△ABC的面积是．

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26. 某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 为直线 $B C$ 上一动点（点 $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合），以 $A D$ 为边在 $A D$ 右侧作正方形 $A D E F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、观察猜想
如图1，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上时，

① $B C$ 与 $C F$ 的位置关系为： ▲ ；

② $B C$ ， $D C$ ， $C F$ 之间的数量关系为： ▲ ；

请将结论直接写在横线上，并给予证明；

(2)、数学思考
如图2，当点 $D$ 在线段 $C B$ 的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明．

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