高中数学人教A版（2019）必修二解三角形月考试卷

试卷日期：2022-04-01 考试类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b = 2$ ， $B = 45 °$ ， $c = \sqrt{6}$ ，则角C为（）

A、 $60 °$ B、 $150 °$ C、 $60 °$ 或 $120 °$ D、 $120 °$

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2. 在 $△ A B C$ 中，若 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + \sqrt{3} a c$ ，则角 $B$ 等于（）

A、 $120 °$ B、 $30 °$ C、 $45 °$ D、 $60 °$

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 4$ ， $\tan A = \frac{\sqrt{7}}{3}$ ，当 $C$ 有两解时， $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\sqrt{7} ， 4)$ B、 $(3 ， 4)$ C、 $(\sqrt{7} ， 3)$ D、 $(3 ， 4]$

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4. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $C = \frac{π}{6}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{2 a + b}{2 \sin A + \sin B}$ 的值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 \sqrt{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $(a - \frac{1}{2} b) \cdot \sin A$ $= (b + c) \cdot (\sin C - \sin B)$ ，则 $\cos C$ =（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $\cos B = \frac{3}{4}$ ， $c = 2 a$ ， $A C$ 边上的中线长度为 $m$ ，则 $\frac{m}{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等边三角形 B、有一内角是 $30^{\circ}$ 的直角三角形 C、等腰直角三角形 D、有一内角是 $30^{\circ}$ 的等腰三角形

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8. 在中，给出如下命题：
① 若 $\sin^{2} A < \sin^{2} B + \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形

② 若 $c = 2 b \cos A$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形

③ 若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

④ 若 $a - b = c (\cos B - \cos A)$ ，则 $△ A B C$ 是等腰或直角三角形

其中，所有正确命题的序号是（）

A、①② B、②③ C、②④ D、③④

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二、多选题

9. 甲，乙两楼相距 $20m$ ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 $60 °$ ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 $30 °$ ，则下列说法正确的有（）

A、甲楼的高度为 $20 \sqrt{3} m$ B、甲楼的高度为 $10 \sqrt{3} m$ C、乙楼的高度为 $\frac{40 \sqrt{3}}{3} m$ D、乙楼的高度为 $10 \sqrt{3} m$

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10. 若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $b - 2 a + 4 a \sin^{2} \frac{A + B}{2} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、角C一定为锐角 B、a² + 2b² - c² = 0 C、3tanA + tanC = 0 D、tanB的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $a = 2 b \cos B$ ，且 $b \neq c$ ，则（）

A、 $A = 2 B$ B、角B的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{4})$ C、 $\cos A$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ O A B$ 的三个顶点O，A，B的坐标分别为 $(0 ， 0)$ ， $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{A B} = \vec{c}$ ，则（）

A、 $S_{△ O A B} = \frac{{| \vec{c} |}^{2} \sin A \sin B}{\sin (A + B)}$ B、 $S_{△ O A B} = \frac{1}{2} \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} {| \vec{b} |}^{2} - {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2}}$ C、 $S_{△ O A B} = \frac{| \vec{a} | | \vec{b} | | \vec{c} |}{2 R}$ (R为 $△ O A B$ 外接圆的半径) D、 $S_{△ O A B} = \frac{1}{2} | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$

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三、填空题

13. 在△ABC中，D是AB的中点，∠ACD与∠CBD互为余角，AD＝2，AC＝3，则sinA的值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，延长 $B C$ 到 $D$ ，使得 $C D = 5$ ，则 $A D$ 的长为．

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $D$ 在边 $a$ 上，且 $B D = 2 D C$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $A D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

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16. 锐角 $△ A B C$ 的内切圆的圆心为 $O$ ，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $\sqrt{3} b c = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) \tan A$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，则 $△ B O C$ 周长的取值范围为.

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足asinB+bcosA=c ，线段BC的中点为D.

(1)、求角B的大小；

(2)、已知 $\sin C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $∠ A D B$ 的大小.

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18. 记 $△ A B C$ 是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b^{2} = a c$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $B D \sin ∠ A B C = a \sin C$ .

(1)、证明： $B D = b$ ；

(2)、若 $A D = 2 D C$ ，求 $\cos ∠ A B C$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $\vec{m} = (\cos 2 C ， - 1)$ ， $\vec{n} = (2 ， \cos (A + B) + 1)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $\cos C$ 的值；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ， $a = 2$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{M B}$ ，求 $C M$ 的长.

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20. 在条件：① $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ，② ${(c - b)}^{2} = a^{2} - b c$ ③ $\bar{m} = (a ， \sqrt{3} b)$ ， $\vec{n} = (\cos A ， \sin B)$ ．且 $\vec{m} // \bar{n}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：
$△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $b = 2$ ， $c = \sqrt{7}$ ， ▲ ．求 $△ A B C$ 的面积．

（选择多个条件时，按你第一个选择结果给分）

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21. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $B C$ 边上的中线 $A D = m$ ，且满足 $a^{2} + 2 b c = 4 m^{2}$ .

(1)、求 $∠ B A C$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的周长的取值范围

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22. 如图， $A$ 、 $B$ 是某海域位于南北方向相距 $15 (1 + \sqrt{3})$ 海里的两个观测点，现位于 $A$ 点北偏东 $45 °$ 、 $B$ 点南偏东 $30 °$ 的 $C$ 处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于 $B$ 点正西方向且与 $B$ 点相距50海里的 $D$ 处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时.

(1)、求 $B$ 、 $C$ 两点间的距离；

(2)、该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到 $0.01 °$ ）？救船到达 $C$ 处需要乡长时间？
（参考数据： $\sin 21.79 ° \approx 0.37$ ， $\cos 21.79 ° \approx 0.93$ ）

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高中数学人教A版（2019） 必修二 解三角形月考试卷

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二、多选题

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